Методы решения неопределенных интегралов

1. Метод непосредственного интегрирования

Приведение к табличному виду или метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int 2^{3 x-1} d x$

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к табличному виду.

$\int 2^{3 x-1} d x=\int 2^{3 x} \cdot 2^{-1} d x=\frac{1}{2} \int\left(2^{3}\right)^{x} d x=$

$=\frac{1}{2} \int 8^{x} d x=\frac{8^{x}}{2 \ln 8}+C$

Ответ. $\int 2^{3 x-1} d x=\frac{8^{x}}{2 \ln 8}+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

2. Внесение под знак дифференциала

В формуле неопределенного интеграла величина $d x$ означает, что берется дифференциал от переменной $x$. Можно использовать некоторые свойства дифференциала, чтобы, усложнив выражение под знаком дифференциала, тем самым упростить нахождение самого интеграла. Для этого используется формула

$y^{\prime}(x) d x=d y(x)$

Если нужная функция $y(x)$ отсутствует, иногда ее можно образовать путем алгебраических преобразований.

Пример

Задание. Внесением под дифференциал найти неопределенный интеграл $\int \cos (2 x) d x$

Решение. Внесем 2$x$ под знак дифференциала, тем самым приведя исходный интеграл к табличному.

$\int \cos (2 x) d x=\int \cos (2 x) \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot d x=\int \cos (2 x) \cdot \frac{1}{2} \cdot d(2 x)=$

$=\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d(2 x)=\frac{1}{2} \int d(\sin 2 x)=\frac{1}{2} \sin 2 x+C$

Ответ. $\int \cos (2 x) d x=\frac{1}{2} \sin 2 x+C$

В общем виде справедливо равенство:

$\int f(y(x)) \cdot y^{\prime}(x) d x=\int f(y(x)) d(y(x))$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{3-5 x}$

Решение. Внесем $3-5 x$ под знак дифференциала, тем самым приведя исходный интеграл к табличному.

$\int \frac{d x}{3-5 x}=\int \frac{-\frac{1}{5} d(-5 x)}{3-5 x}=$

$=-\frac{1}{5} \int \frac{d(3-5 x)}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Ответ. $\int \frac{d x}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

3. Интегрирование заменой переменной

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть $x=\phi(t)$, где функция $\phi(t)$ имеет непрерывную производную $\phi^{\prime}(t)$, а между переменными $x$ и $t$ существует взаимно однозначное соответствие. Тогда справедливо равенство

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^{\prime}(t) \cdot d t$

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{3-5 x}$

Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.

$$\int \frac{d x}{3-5 x}\left\|\begin{array}{l} 3-5 x=t \\ -5 d x=d t \\ d x=-\frac{d t}{5} \end{array}\right\|=\int \frac{-\frac{d t}{5}}{t}=-\frac{1}{5} \int \frac{d t}{t}=$$

$=-\frac{1}{5} \ln |t|+C=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Ответ. $\int \frac{d x}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

$\int u d v=u v-\int v d u$

При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит. Поэтому для удобства будем брать $C=0$ .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int x \cos x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$$\int x \cos x d x\left\|\begin{array}{ll} u=x & v=\sin x \\ d u=d x & d v=\cos x d x \end{array}\right\|=x \sin x-\int \sin x d x=$$

$=x \sin x+\cos x+C$

Ответ. $\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

Читать дальше: метод непосредственного интегрирования.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация