Метод непосредственного интегрирования

Определение

Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Таким образом, алгоритм действий следующий:

  1. тождественное преобразование подынтегральной функции;
  2. применение свойств неопределенного интеграла: вынесение константы за знак интеграла, представление интеграла от суммы функций в вид суммы интегралов;
  3. использование таблицы интегралов.

В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.

При определенной практике интегрирования обычно эти действия проводят устно, записывая лишь результат интегрирования.

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл $\int\left(2 x^{2}+\frac{\cos x}{3}+4^{x}-\frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) d x$

Решение. Воспользуемся свойствами интеграла и приведем данный интеграл к нескольким табличным.

$\int\left(2 x^{2}+\frac{\cos x}{3}+4^{x}-\frac{4}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) d x=$

$=\int 2 x^{2} d x+\int \frac{\cos x}{3} d x+\int 4^{x} d x-\int \frac{4 d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=$

$=2 \int x^{2} d x+\frac{1}{3} \int \cos x d x+\frac{4^{x}}{\ln 4}-4 \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=$

$=2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}+\frac{1}{3} \cdot \sin x+\frac{4^{x}}{\ln 4}-4 \cdot \arcsin x+C=$

$=\frac{2 x^{3}}{3}+\frac{\sin x}{3}+\frac{4^{x}}{\ln 4}-4 \arcsin x+C$

В некоторых случаях выражение, стоящее под знаком интеграла, можно с помощью алгебраических преобразований упростить так, чтобы можно было применить метод непосредственного интегрирования.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int\left(x^{4}+\sqrt{x}\right)^{2} d x$

Решение. Используем формулу квадрата суммы и свойства интеграла, затем приведем данный интеграл к нескольким табличным.

$\int\left(x^{4}+\sqrt{x}\right)^{2} d x=\int\left(x^{8}+2 x^{4} \cdot \sqrt{x}+x\right) d x=$

$=\int\left(x^{8}+2 x^{4,5}+x\right) d x=\int x^{8} d x+\int 2 x^{4,5} d x+\int x d x=$

$=\frac{x^{8+1}}{8+1}+2 \int x^{4,5} d x+\frac{x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^{9}}{9}+2 \cdot \frac{x^{4,5+1}}{4,5+1}+\frac{x^{2}}{2}+C=$

$=\frac{x^{9}}{9}+2 \cdot \frac{x^{5,5}}{5,5}+\frac{x^{2}}{2}+C=\frac{x^{9}}{9}+\frac{4 \sqrt{x^{11}}}{11}+\frac{x^{2}}{2}+C$

Ответ. $\int\left(x^{4}+\sqrt{x}\right)^{2} d x=\frac{x^{9}}{9}+\frac{4 \sqrt{x^{11}}}{11}+\frac{x^{2}}{2}+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+x \cdot 3^{x}-x \cos x}{x} d x$

Решение. Упростим подынтегральную функцию, затем с помощью свойств интеграла приведем данный интеграл к нескольким табличным.

$\int \frac{x^{2}+x \cdot 3^{x}-x \cos x}{x} d x=\int\left(\frac{x^{2}}{x}+\frac{x \cdot 3^{x}}{x}-\frac{x \cos x}{x}\right) d x=$

$=\int\left(x+3^{x}-\cos x\right) d x=\int x d x+\int 3^{x} d x-\int \cos x d x=$

$=\frac{x^{2}}{2}+\frac{3^{x}}{\ln 3}-\sin x+C$

Ответ. $\int\left(\frac{x^{2}+x \cdot 3^{x}-x \cos x}{x}\right) d x=\frac{x^{2}}{2}+\frac{3^{x}}{\ln 3}-\sin x+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \operatorname{tg}^{2} x d x$

Решение. Для упрощения подынтегральной функции воспользуемся тригонометрическими функциями. Затем с помощью свойств интеграла приведем данный интеграл к табличному виду.

$\int \operatorname{tg}^{2} x d x=\int \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} d x=\int \frac{1-\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x} d x=$

$=\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-\frac{\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x}\right) d x=\int \frac{d x}{\cos ^{2} x}-\int d x=\operatorname{tg} x-x+C$

Ответ. $\int \operatorname{tg}^{2} x d x=\operatorname{tg} x-x+C$

Читать дальше: интегрирование внесением под дифференциал.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация