Интегрирование заменой переменной

Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.

Если в неопределенном интеграле $\int f(x) d x$ сделать подстановку $x=\phi(t)$, где функция $\phi(t)$ - функция с непрерывной первой производной, то тогда $d x=d(\phi(t))=\phi^{\prime}(t) d t$ и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \phi^{\prime}(t) d t$

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание

После нахождения интеграла по новой переменной $t$ необходимо вернуться к первоначальной переменной $x$.

Замечание

В некоторых случаях целесообразно делать подстановку $t=g(x)$, тогда

$\int f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=\int f(t) d t$

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл $\int x e^{x^{2}} d x$

Решение. Сделаем замену переменной: $x^{2}=t$, далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.

$$\begin{array}{c||l||l} & x^{2}=t & \\ & d\left(x^{2}\right)=d t & \\ \int x e^{x^{2}} d x=\int e^{x^{2}} \cdot x d x & 2 x d x=d t & =\int e^{t} \cdot \frac{d t}{2}= \\ & x d x=\frac{d t}{2} \end{array}$$

$=\frac{1}{2} \int e^{t} d t=\frac{1}{2} \cdot e^{t}+C=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$

Ответ. $\int x e^{x^{2}} d x=\frac{e^{x^{2}}}{2}+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{x^{2}+x \ln x}{x^{2}} d x$

Решение. Упростим подынтегральную функцию, а потом сделаем замену переменной: $\ln x=t$

$\int \frac{x^{2}+x \ln x}{x^{2}} d x=\int\left(\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{x \ln x}{x^{2}}\right) d x=\int\left(1+\frac{\ln x}{x}\right) d x=$

$$=\int d x+\int \frac{\ln x}{x} d x\left\|\begin{array}{l} \ln x=t \\ \frac{d x}{x}=d t \end{array}\right\|=x+\int t d t=x+\frac{t^{2}}{2}+C=$$

$=x+\frac{(\ln x)^{2}}{2}+C=x+\frac{\ln ^{2} x}{2}+C$

Ответ. $\int \frac{x^{2}+x \ln x}{x^{2}} d x=x+\frac{\ln ^{2} x}{2}+C$

Следствия из метода интегрирования заменой переменной

Используя метод подстановки, можно получить следующие соотношения для некоторых интегралов, которые рационально использовать уже в конечном виде, а не каждый раз производить вычисления:

$\int \frac{d x}{x+a}\left\|_{d x=t}^{x+a=t}\right\|=\int \frac{d t}{t}=\ln |t|+C=\ln |x+a|+C$

то есть

$\int \frac{d x}{x+a}=\ln |x+a|+C$

Аналогично можно показать, что

$\int e^{k x+b} d x=\frac{1}{k} e^{k x+b}+C$

$\int \cos (k x+b) d x=\frac{1}{k} \sin (k x+b)+C$

$\int \sin (k x+b) d x=-\frac{1}{k} \cos (k x+b)+C$

Подобные соотношения можно было вывести и с использованием метода внесения под дифференциал.


Читать дальше: метод интегрирования по частям.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация