Интеграл от суммы

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int\left(\sin x+4 x^{3}\right) d x$

Решение. Интеграл от суммы равен сумме двух интегралов, поэтому заданный интеграл разбиваем на сумму двух слагаемых:

$$\int\left(\sin x+4 x^{3}\right) d x=\int \sin x d x+\int 4 x^{3} d x$$

Интеграл от первой функции берем как интеграл от синуса, а вторая подынтегральная функция является степенной, тогда:

$$\int\left(\sin x+4 x^{3}\right) d x=-\cos x+4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}+C=$$ $$=-\cos x+4 \cdot \frac{x^{4}}{4}+C=-\cos x+x^{4}+C$$

Ответ. $\int\left(\sin x+4 x^{3}\right) d x=-\cos x+x^{4}+C$

Задание. Найти интеграл $\int\left(\frac{1}{x}+2^{x}\right) d x$

Решение. Интеграл от суммы двух функций равен сумме двух интегралов, а тогда получаем:

$$\int\left(\frac{1}{x}+2^{x}\right) d x=\int \frac{d x}{x}+\int 2^{x} d x$$

Первый интеграл дает нам натуральный логарифм, а второй берем как интеграл от показательной функции:

$$\int\left(\frac{1}{x}+2^{x}\right) d x=\ln |x|+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$$

Ответ. $\int\left(\frac{1}{x}+2^{x}\right) d x=\ln |x|+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$