Интеграл от разности функций

Формула

$$\int(f(x)-g(x)) d x=\int f(x) d x-\int g(x) d x$$

Интеграл от разности двух функций равен разности интегралов.

Данная формула верна и в случае, когда функций больше, чем две.

Примеры вычисления интеграла разности функций

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int(\cos x-1) d x$

Решение. Интеграл от разности функций равен разности интегралов:

$$\int(\cos x-1) d x=\int \cos x d x-\int d x=\sin x-x+C$$

Ответ. $\int(\cos x-1) d x=\sin x-x+C$

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $\int(2 x-\operatorname{tg} x) d x$

Решение. Заданный интеграл разбиваем на разность двух интегралов:

$$\int(2 x-\operatorname{tg} x) d x=\int 2 x d x-\int \operatorname{tg} x d x=$$ $$=2 \int x d x-(-\ln |\cos x|)=2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1}+\ln |\cos x|+C=$$ $$=x^{2}+\ln |\cos x|+C$$

Ответ. $\int(2 x-\operatorname{tg} x) d x=x^{2}+\ln |\cos x|+C$

Читать дальше: интеграл константы.

Другая информация