Свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

$d\left(\int f(x) d x\right)=f(x) d x$

Пример

$d\left(\int x^{2} d x\right)=x^{2} d x$

Больше примеров решений

2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

$\left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x)$

Пример

$\left(\int x^{2} d x\right)^{\prime}=x^{2}$

Больше примеров решений

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

$\int d F(x)=\int F^{\prime}(x) d x=F(x)+C$

Пример

$\int d(\sin x)=\int \cos x d x=\sin x+C$

Больше примеров решений

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

$\int \alpha \cdot f(x) d x=\alpha \int f(x) d x$

Пример

$\int 3 x^{2} d x=3 \int x^{2} d x$

Больше примеров решений

5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

$\int(f(x) \pm g(x)) d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x$

Пример

$\int\left(x^{2}+\sin x\right) d x=\int x^{2} d x+\int \sin x d x$

Больше примеров решений

6. Если $\int f(x) d x=F(x)+C$, то и $\int f(u) d u=F(u)+C$, где функция $u=\phi(x)$ - произвольная функция с непрерывной производной.

Пример

Известно, что $\int \cos x d x=\sin x+C$, а тогда

$\int \cos (x+2) d(x+2)=\sin (x+2)+C$

Больше примеров решений

Читать дальше: таблица интегралов.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация