Дифференциал функции

Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x$, то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно $\Delta x$ и нелинейного членов:

$\Delta y=f^{\prime}(x) \cdot \Delta x+\alpha(\Delta x) \cdot \Delta x$

где $\alpha(\Delta x) \rightarrow 0$ при $\Delta x \rightarrow 0$.

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно $\Delta x$ часть приращения функции. Она обозначается как $d y$ или $d f(x)$. Таким образом:

$d y=f^{\prime}(x) \cdot \Delta x$

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

$d x=\Delta x$

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

$d y=f^{\prime}(x) d x$

Отсюда получаем, что

$\frac{d y}{d x}=f^{\prime}(x)$

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке $x_{0}$ равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента $\Delta x$.


Читать дальше: правила вычисления производных.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация