Понятие производной

Пусть задана некоторая функция $y=f(x)$. Возьмем какое-нибудь значение $x_{0}$ из области определения этой функции: $x_{0} \in D[f]$ . Соответствующее значение функции в этой точке будет равно $y_{0}=f\left(x_{0}\right)$ .

Приращение аргумента и функции

Определение

Приращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента: "новым" и "старым".

Обычно обозначается как $\Delta x=x_{1}-x_{0}$ .

Пример

Задание. Найти приращение аргумента $x$, если он переходит от значения 3 к значению 3,2.

Решение. Искомое приращение: $\Delta x=3,2-3=0,2$ .

Ответ. $\Delta x=0,2$

Зададим аргументу $x_{0}$ приращение $\Delta x$. А тогда значение функции в новой точке $f\left(x_{0}+\Delta x\right)$.

Определение

Приращением функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x=x-x_{0}$, называется величина:

$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$

Иллюстрация приращения аргумента и функции

Пример

Задание. Найти приращение функции $y=2 x^{2}$ при $x_{0}=3$ и $\Delta x=0,1$

Решение. Подставляя в формулу, получаем, что приращение функции:

$\Delta y=y(3+0,1)-y(3)=2 \cdot(3+0,1)^{2}-2 \cdot 3^{2}=1,22$

Ответ. $\Delta y=1,22$

Определение производной

Определение

Производной $y^{\prime}(x)$ от функции $y=f(x)$ в точке $x_{0}$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$ :  $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ при $\Delta x \rightarrow 0$, если он существует, то есть:

$y^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$

или

$y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$

Пример

Задание. Найти производную функции $y=x^{2}+3 x$ в точке $x_{0}=0$.

Решение. Найдем приращение заданной функции в точке $x_{0}$ :

$\Delta y=y(0+\Delta x)-y(0)=y(\Delta x)-y(0)=$

$=(\Delta x)^{2}+3 \Delta x-0=\Delta x(\Delta x+3)$

Тогда

$y^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(\Delta x+3)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x+3)=0+3=3$

Ответ. $y^{\prime}(0)=3$

Дифференцирование функции

Определение

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Функция $y=f(x)$ имеет производную на интервале $(a ; b)$ или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная $f^{\prime}(x)$ существует в каждой точке этого интервала.

Функция $y=f(x)$ имеет в точке $x$ бесконечную производную, если в этой точке $f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty$ .

Теорема

(О непрерывности функции в точке)

Если функция $y=f(x)$ имеет конечную производную в точке $x_{0}$ , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция $y=f(x)$ непрерывна в некоторой точке $x_{0}$ , то она может и не иметь производной в этой точке.

Определение

Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x$, если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

$\Delta y=A \cdot \Delta x+\alpha(\Delta x) \cdot \Delta x$

где $A$ - число, не зависящее от $\Delta x$, $\alpha(\Delta x)$ - б.м. функция при $\Delta x \rightarrow 0$.

Теорема

(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)

Для того чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируемой в точке $x$, необходимо и достаточно, чтобы $y=f(x)$ имела в этой точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции $y=f(x)$ дифференцируемость в данной точке $x$ и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.


Читать дальше: односторонние производные.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация