Метод интегрирования по частям

Рассмотрим функции $u=u(x)$ и $v=v(x)$, которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

$d(u v)=u d v+v d u$

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Rightarrow u v=\int u d v+\int v d u$

Полученное равенство перепишем в виде:

$\int u d v=u v-\int v d u$

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл $\int u d v$ можно свести к нахождению интеграла $\int v d u$, который может быть более простым.

Замечание

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1) $\int P_{n}(x) e^{k x} d x$  ;   $\int P_{n}(x) \sin (k x) d x$  ;   $\int P_{n}(x) \cos (k x) d x$

Здесь $P_{n}(x)$ - многочлен степени $n$, $k$ - некоторая константа. В данном случае в качестве функции $u$ берется многочлен, а в качестве $d v$ - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется $n$ раз.

Примеры решения интегралов данным методом

Пример

Задание. Найти интеграл $\int(x+1) e^{2 x} d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$$\int(x+1) e^{2 x} d x \quad\left\|\begin{array}{cc} u=x+1 & d v=e^{2 x} d x \\ d u=d x & v=\frac{1}{2} e^{2 x} \end{array}\right\|=(x+1) \cdot \frac{1}{2} e^{2 x}-\int \frac{1}{2} e^{2 x} d x=$$

$=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} e^{2 x}+C=$

$=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{e^{2 x}}{4}+C$

Ответ. $\int(x+1) e^{2 x} d x=\frac{(x+1) e^{2 x}}{2}-\frac{e^{2 x}}{4}+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int x^{2} \cos x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.

$$\int x^{2} \cos x d x\left\|\begin{array}{ll} u=x^{2} & d v=\cos x d x \\ d u=2 x d x & v=\sin x \end{array}\right\|=x^{2} \sin x-\int \sin x \cdot 2 x d x=$$ $$=x^{2} \sin x-2 \int x \sin x d x \| \begin{array}{ll} u=x & d v=\sin x d x \\ d u=d x & v=-\cos x \end{array}$$

$=x^{2} \sin x-2\left(x \cdot(-\cos ) x-\int(-\cos x) d x\right)=$

$=x^{2} \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$

$=x^{2} \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\left(x^{2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

Ответ. $\int x^{2} \cos x d x=\left(x^{2}-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$

2)$\int P_{n}(x) \arcsin x d x$  ;   $\int P_{n}(x) \arccos x d x$  ;   $\int P_{n}(x) \ln x d x$

Здесь принимают, что $d v=P_{n}(x) d x$, а в качестве $u$ оставшиеся сомножители.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \ln x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$$\int \ln x d x\left\|\begin{array}{l} u=\ln x \quad d v=d x \\ d u=\frac{d x}{x} \quad v=x \end{array} \quad\right\|=x \ln x-\int x \cdot \frac{d x}{x}=$$

$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

Ответ. $\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \arcsin x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.

$$\int \arcsin x d x\left\|\begin{array}{cc} u=\arcsin x & d v=d x \\ d u=\frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}} & v=x \end{array}\right\|=$$ $$\begin{array}{r||l||} =x \arcsin x-\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}} & \begin{array}{l} 1-x^{2}=t^{2} \\ -2 x d x=2 t d t \\ x d x=-t d t \end{array} \end{array}$$

$=x \arcsin x-\int \frac{-t d t}{\sqrt{t^{2}}}=x \arcsin x+\int \frac{t d t}{t}=x \arcsin x+\int d t=$

$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C$

Ответ. $\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C$

3)$\int e^{k x+b} \sin (c x+f) d x$  ;   $\int e^{k x+b} \cos (c x+f) d x$

В данном случае в качество $u$ берется либо экспонента, либо тригонометрическая функция. Единственным условием есть то, что при дальнейшем применении формулы интегрирования по частям в качестве функции $u$ берется та же функция, то есть либо экспонента, либо тригонометрическая функция соответственно.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int e^{2 x+1} \sin x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$=-e^{2 x+1} \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac{e^{2 x+1}}{2} d x=$

$=-e^{2 x+1} \cos x+\frac{1}{2}\left(e^{2 x+1} \sin x-\int \sin x \cdot \frac{e^{2 x+1}}{2} d x\right)=$

$=-e^{2 x+1} \cos x+\frac{e^{2 x+1} \sin x}{2}-\frac{1}{4} \int e^{2 x+1} \sin x d x$

Таким образом, получили равенство:

$\int e^{2 x+1} \sin x d x=-e^{2 x+1} \cos x+\frac{e^{2 x+1} \sin x}{2}-\frac{1}{4} \int e^{2 x+1} \sin x d$

Перенося интеграл из правой части равенства в левую, имеем:

$\int e^{2 x+1} \sin x d x+\frac{1}{4} \int e^{2 x+1} \sin x d x=-e^{2 x+1} \cos x+\frac{e^{2 x+1} \sin }{2}$

или

$\frac{5}{4} \int e^{2 x+1} \sin x d x=-e^{2 x+1} \cos x+\frac{e^{2 x+1} \sin x}{2}$

Далее домножая левую и правую части равенства на $\frac{4}{5}$ , окончательно имеем:

$\int e^{2 x+1} \sin x d x=-\frac{4 e^{2 x+1} \cos x}{5}+\frac{2 e^{2 x+1} \sin x}{5}+C$

Ответ. $\int e^{2 x+1} \sin x d x=-\frac{4 e^{2 x+1} \cos x}{5}+\frac{2 e^{2 x+1} \sin x}{5}+C$

Читать дальше: простейшие дроби.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация