Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е

Теорема Вейерштрасса

Теорема

Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).

Если последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и $\left\{x_{n}\right\}$ ограничена сверху (снизу), то $\left\{x_{n}\right\}$ является сходящейся.

Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ имеет предел.

Применение теоремы Вейерштрасса на практике

Пример

Задание. Доказать, что последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{1}{n}\right\}$ сходится.

Доказательство. Рассматриваемая последовательность ограничена снизу, так как для любого натурального $n$ : $x_{n}=\frac{1}{n}>0$

Исследуем заданную последовательность на монотонность:

$x_{n}-x_{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$

$\frac{1}{n(n+1)}>0 \Rightarrow x_{n}>x_{n+1}$ ,

а значит последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ монотонно убывающая, а тогда, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность сходится.

Пример

Задание. Исследовать последовательность $x_{n+1}=\sqrt{12+x_{n}}$ , $x_{1}=13$ заданную рекуррентно, на сходимость.

Решение. Предположим, что заданная последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ сходится, тогда существует $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ , а тогда и

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+1}=a=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{12+x_{n}}=\sqrt{12+a}$

Решая полученное уравнение относительно $a$, получаем:

$a^{2}-a-12=0 \Rightarrow a_{1}=-3, a_{2}=4$

Так как предел неотрицательных чисел не может быть отрицательным, то делаем вывод, что $a=4$. Итак, если предел последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ существует, то он равен 4.

Далее докажем, что:

1) $x_{n}>4$ ;

2) $\left\{x_{n}\right\}$ является монотонно убывающей последовательностью.

Первое утверждение $x_{n}>4$ докажем с помощью метода математической индукции:

1 шаг. Проверяем выполнения равенства для $n=1 : x_{1}=13>4$. Выполняется.

2 шаг. Делаем индуктивное предположение, что для $n=k$ данное неравенство имеет место, то есть $x_{k}>4$

3 шаг. Проверяем выполнение неравенства для $n=k+1 : x_{k+1}>4$ :

$$x_{k+1}=\sqrt{12+x_{k}}^{2}>\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4 \Rightarrow x_{k+1}>4$$

А это означает, что неравенство $x_{n}>4$ выполняется для любого натурального $n$. Итак, первое утверждение доказано.

Теперь покажем, что последовательность является монотонно убывающей. Рассмотрим разность

$x_{n+1}-x_{n}=\sqrt{12+x_{n}}-x_{n}=\frac{\left(\sqrt{12+x_{n}}-x_{n}\right)\left(\sqrt{12+x_{n}}+x_{n}\right.}{\sqrt{12+x_{n}}+x_{n}}$

$$=\frac{-x_{n}^{2}+x_{n}+12}{\sqrt{12+x_{n}}+x_{n}}=\frac{-\left(x_{n}+3\right)\left(x_{n}-4\right)}{\sqrt{12+x_{n}}+x_{n}}$$

Для $x_{n}>4$ получаем, что $x_{n+1}-x_{n}<0 \Rightarrow x_{n+1}<x_{n}$ , то есть последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ монотонно убывает.

Таким образом, согласно теореме Вейерштрасса, последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ является сходящейся.

Ответ. Согласно теореме Вейерштрасса, последовательность $x_{n+1}=\sqrt{12+x_{n}}$ , $x_{1}=13$, заданная рекуррентно, является сходящейся.

Замечание

Для того чтобы монотонная последовательность сходилась, достаточно, чтобы она была ограниченной.

Замечание

Если последовательность монотонная, то для того, чтобы она была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.

Число е (число Эйлера)

Используя теорему Вейерштрасса, можно показать, что последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}$ является сходящейся, то есть имеет предел. Данный предел равен числу е - числу Эйлера, которое является основанием натурального логарифма:

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$

Пример

Задание. Найти предел последовательности $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^{n}\right\}$ , используя тот факт, что $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$

Решение. Приведем последовательность к соответствующему виду.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^{k}}{\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^{k}}=$

$=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^{n+k}}{\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^{k}}=\frac{e}{1^{k}}=e$

Ответ. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^{n}=e$

Пример

Задание. Найти предел $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}$

Решение. Для того, чтобы воспользоваться известным нам пределом приведем последовательность к соответствующему виду.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{n}{n+1}-1\right)^{n}=$

$=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{n-n-1}{n+1}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{n}=$

$=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{-1}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{-1}}\right]^{\frac{-1}{n+1} \cdot n}=\lim _{n \rightarrow \infty} e^{\frac{-n}{n+1}}=e^{-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}}=$

$$=e^{-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n+1}}{n}}=e^{-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+\frac{1}{n}}}=e^{-\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}}}=e^{-\frac{1}{1+0}}=e^{-1}$$

Ответ. $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

Читать дальше: фундаментальные последовательности, критерий Коши.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация