Содержание:

Основные понятия и определения

Определение

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется монотонно возрастающей, если для любого $n \in N, x_{n}<x_{n+1}$

Пример

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{n\}=\{1 ; 2 ; \ldots ; n ; \ldots\}$ является возрастающей, так как для любого $n \in N, x_{n}<x_{n+1}$

Можно дать еще одно альтернативное определение возрастающей последовательности.

Определение

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется монотонно возрастающей, если для любого $n \in N, \frac{x_{n}}{x_{n+1}}<1$

Определение

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется монотонно убывающей, если для любого $n \in N$ , $x_{n}>x_{n+1}$

Или,

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется монотонно убывающей, если для любого $n \in N$ , $\frac{x_{n}}{x_{n+1}}>1$

Слишком сложно?

Монотонные последовательности не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{n\}=\{-1 ;-2 ; \ldots ;-n ; \ldots\}$ является убывающей, так как для любого $n \in N$ , $x_{n}>x_{n+1}$

Примеры исследования последовательностей на монотонность

Пример

Задание. Исследовать последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{\sqrt{n}\}$ на монотонность.

Решение. Рассмотрим разность $n$-го члена последовательности $x_n$ и ее $(n+1)$-го члена $x_{n+1}=\sqrt{n+1}$ :

$$x_{n}-x_{n+1}=\sqrt{n}-\sqrt{n+1}=\frac{(\sqrt{n}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=$$ $$=\frac{n-n-1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=-\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}<'0, \forall n \in N \Rightarrow x_{n}<x_{n+1}$$ \lt p>а тогда делаем вывод, что $\left\{x_{n}\right\}$ - возрастающая последовательность.

Ответ. $\left\{x_{n}\right\}=\{\sqrt{n}\}$ - возрастающая последовательность.

Пример

Задание. Исследовать последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{2^{n}}{n !}\right\}, n \geq 2$ на монотонность.

Решение. Найдем отношение $n$-го члена последовательности $x_n$ к ее $(n+1)$-му члену $x_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+1) !}$ :

$$\frac{x_{n}}{x_{n+1}}=\frac{\frac{2^{n}}{n !}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1) !}}=\frac{2^{n}}{n !} \cdot \frac{(n+1) !}{2^{n+1}}=\frac{2^{n}}{n !} \cdot \frac{n ! \cdot(n+1)}{2^{n} \cdot n}=\frac{n+1}{2}$$

Для $n \geq 2$ выражение $\frac{x_{n}}{x_{n+1}}=\frac{n+1}{2}>1 \Rightarrow x_{n}>x_{n+1}$ , то есть заданная последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{2^{n}}{n !}\right\}, n \geq 2$ является монотонно убывающей.

Ответ. $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{2^{n}}{n !}\right\}, n \geq 2$ - монотонно убывающая последовательность.

Нестрогая монотонность

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ является неубывающей или нестрого возрастающей (невозрастающей или нестрого убывающей), если для $\forall n \in N$, $x_{n} \leq x_{n+1}\left(x_{n} \geq x_{n+1}\right)$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется монотонной, если она убывающая или возрастающая.

Если все элементы последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ равны одному и тому же числу, то последовательность называется постоянной.

Пример

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{0 ; 0 ; \ldots ; 0 ; \ldots\}$ является постоянной, так для любого натурального $n$ : $x_n=0$

Читать дальше: предел числовой последовательности.