Предел числовой последовательности

Определение

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется сходящейся, если существует такое число $a \in R$ такое, что последовательность $\left\{x_{n}-a\right\}$ является бесконечно малой последовательностью.

Определение

Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ и обозначается $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n} x_{n}=a$, $x_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a$


Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ , если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_{0}=n_{0}(\epsilon)$ такой, что для любого $n>n_{0}$ выполняется неравенство $\left|x_{n}-a\right|<\epsilon$ :

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) : \forall n>n_{0},\left|x_{n}-a\right|<\epsilon$

Определение

Целой частью $[x]$ некоторого числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$

Пример

Задание. Найти целую часть чисел - 2,36; 2,36; 2.

Решение. $[-2,36]=-3,[2,36]=2,[2]=2$

Пример

Задание. Доказать равенство: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$

Доказательство. Исходя из определения, 0 будет пределом последовательности $\frac{1}{n}$ , если для любого $\epsilon>0$ найдется такой номер $n_{0}=n_{0}(\epsilon)$, что для любого $n>n_{0}$ выполняется неравенство $\left|x_{n}-0\right|<\epsilon$:

$\left|x_{n}-a\right|=\left|\frac{1}{n}-0\right|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{|1|}{|n|}=\frac{1}{n}<\epsilon \Rightarrow n>\frac{1}{\epsilon}$

В качестве $n_{0}$ возьмем $n_{0}=\left[\frac{1}{\epsilon}\right]+1$

Итак, для любого $n>n_{0}$ указано соответствующее значение $n_{0}$ , а тогда равенство $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ доказано.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Определение

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся; иначе - расходящейся.

Пример

Задание. Доказать, что последовательность $x_{n}=(-1)^{n+1}$ не имеет предел.

Доказательство. Пусть $a$ - предел рассматриваемой последовательности, то есть $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$. Рассмотрим $\epsilon=\frac{1}{10} \Rightarrow \exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) \in N : n>n_{0} :\left|x_{n}-a\right|<\epsilon$

Пусть $n=2 k$ :

$\left|x_{2 k}-a\right|<\frac{1}{10} \Rightarrow|-1-a|<\frac{1}{10} \Rightarrow|1+a|<\frac{1}{10}$

Пусть $n=2 k+1$ :

$\left|x_{2 k+1}-a\right|<\frac{1}{10} \Rightarrow|1-a|<\frac{1}{10}$

Так как полученные выражения не равны, то данная последовательность предела не имеет.

Постоянная последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\{c\}$ имеет предел, равный числу $c$ : $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c=c$

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема

(Необходимый признак сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

Последовательность на бесконечности

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ имеет бесконечный предел, если для любого $\epsilon>0, \exists n_{0} \in N : n>n_{0} :$ $x_{n}>\epsilon : \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется бесконечно малой, если $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется бесконечно большой, если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_{0}$ такое, что для любого $n>n_{0} :\left|x_{n}\right|>\epsilon$

Теорема

Пусть $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ , тогда

а) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}+\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a+b$ ;

б) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n} \cdot y_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=a \cdot b$ ;

в) если $b \neq 0$ , то начиная с некоторого номера заданная последовательность $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{a}{b}$

Читать дальше: предельный переход в неравенствах.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация