Свойства пределов функции

1°   Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

$\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x)$

Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}-x+7\right)$

Решение. Воспользуемся первым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

$\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}-x+7\right)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{3}-\lim _{x \rightarrow 0} x+\lim _{x \rightarrow 0} 7=0-0+7=7$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}-x+7\right)=7$

2°   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

$\lim _{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x)$

Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 2}[(x-1) \cdot(x+2)]$

Решение. Воспользуемся вторым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

$\lim _{x \rightarrow 2}[(x-1) \cdot(x+2)]=\lim _{x \rightarrow 2}(x-1) \cdot \lim _{x \rightarrow 2}(x+2)=$

$=(2-1) \cdot(2+2)=1 \cdot 4=4$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow 2}[(x-1) \cdot(x+2)]=4$

3°   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)}, \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0$

Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x-1}$

Решение. Воспользуемся третьим свойство, сделаем числитель и знаменатель функции отдельными пределами и независимо найдем их.

$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x-1}=\frac{\lim _{x \rightarrow 2}(x+2)}{\lim _{x \rightarrow 2}(x-1)}=\frac{1+2}{2-1}=\frac{4}{1}=4$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x-1}=4$

4°   Константу можно выносить за знак предела:

$\lim _{x \rightarrow a}[c \cdot f(x)]=c \cdot \lim _{x \rightarrow a} f(x)$

Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)$

Решение. Воспользуемся первым и четвертым свойствами, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

$\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)=\lim _{x \rightarrow-1} 6 x^{2}-\lim _{x \rightarrow-1} 1=$

$=6 \lim _{x \rightarrow-1} x^{2}-1=6 \cdot(-1)^{2}-1=6-1=5$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)=5$

5°   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

$\lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{n}=\left(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right)^{n}, n \in N$

Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)^{3}$

Решение. Воспользуемся пятым свойством, внесем предел под третью степень. Сначала найдем предел более простой функции, а затем возведем его в третью степень.

$\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)^{3}=\left(\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)\right)^{3}=5^{3}=125$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow-1}\left(6 x^{2}-1\right)^{3}=125$

Читать дальше: бесконечно малые функции.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация