Определение

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера $n$ , $x_{n} \leq M$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m \in R$ , что для любого номера $n$ , $x_{n} \geq m$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется ограниченной , если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число $M \geq 0$ , что для любого номера $n$ , $\left|x_{n}\right| \leq M$

Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ называется неограниченной, если существует такое число $M \geq 0$ , что существует такой номер $n$ , что $\left|x_{n}\right| \geq M$

Примеры исследования последовательности на ограниченность

Пример

Задание. Исследовать последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{1}{n}\right\}, n \in N$ на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера $n$ выполняются неравенства:

$$0 \lt \frac{1}{n} \leq 1, \forall n \in N$$

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ. Последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей.

Слишком сложно?

Ограниченные последовательности не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Исследовать последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+1}}\right\}, n \in N$ на ограниченность.

Решение. Рассмотрим $|x_{n}|$ и попробуем его оценить сверху:

$$\left|x_{n}\right|=\left|\frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+1}}\right|=\left|\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}\right|$$

Так как модуль суммы меньше либо равен сумме модулей: $|a+b| \leq |a|+|b|$ , то получаем, что

$$\left|x_{n}\right| \leq\left|\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\right|+\left|\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}\right|=\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} \lt $$ $$ \lt \frac{n}{\sqrt{n^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}=1+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}$$

Выражение $\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}$ принимает свое максимальное значение, когда знаменатель является наименьшим. Знаменатель будет минимальным при наименьшем значении $n$ , то есть для $m=1$ . А тогда

$$\left|x_{n}\right|<1+\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}, \forall n \in N$$

А таким образом, существует такое число $M=1+\frac{\sqrt{2}}{2}>0$ , что для любого номера $n$ , $|x_{n} \leq M|$ . Значит, по определению последовательность ${x_{n}}$ ограничена.

Ответ. Последовательность $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{n+1}{\sqrt{n^{2}+1}}\right\}, n \in N$ ограничена

Читать дальше: бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.