Бесконечно малые функции

Определение

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при $x \rightarrow a$ (или в точке $x=a$ ), если $\lim _{x \rightarrow a} \alpha(x)=0$

Пример

Функция $y=x$ является бесконечно малой (б.м) функцией при $x \rightarrow 0$.

Основные свойства бесконечно малых функций

1°   Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2°   Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3°   Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4°   Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5°   Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6°   Функция $\frac{1}{\alpha(x)}$, обратная к б.м функции $\alpha(x) \neq 0$, есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Пример

Задание. Доказать, что функция $\alpha(x)=(x+1) \cdot \operatorname{arctg}(x)$ является бесконечно малой в точке $x=-1$.

Доказательство. Из того, что $\lim _{x \rightarrow-1}(x+1)=-1+1=0$ делаем вывод, что функция $f(x)=x+1$ является б.м при $x \rightarrow-1$. Функция $g(x)=\operatorname{arctg}(x)$ является ограниченной: $-\frac{\pi}{2}< g(x)<\frac{\pi}{2}$. А тогда их произведение $\alpha(x)=f(x) g(x)$, согласно свойству №3, является функцией б.м.

Теорема

Пусть $b$ - предел функции $y=f(x)$ в точке $a$: $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$ . Тогда заданную функцию можно представить в виде $f(x)=b+\alpha(x)$, где $\alpha(x)$ - б.м функция. Верно и обратное утверждение.

Пример

Задание. Доказать, что $\lim _{x \rightarrow 1}(2 x+3)=5$.

Доказательство. Рассматриваемую функцию $f(x)=2 x+3$ представим в виде суммы предела этой функции - числа 5 и бесконечно малой функции $\alpha(x)=2(x-1)$ :

$f(x)=2 x+3=5+2 x+3-5=5+2 x-2=5+2(x-1)$

А тогда, по выше приведенной теореме, делаем вывод, что $\lim _{x \rightarrow 1}(2 x+3)=5$.

Читать дальше: сравнение бесконечно малых функций.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация