Содержание:

Определение

Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если для $\forall \epsilon>0$ существует номер $n_{0} \in N$ такой, что для любых $n,p \geq n_0$ выполняется неравенство: $|x_{n+p}-x_n|$

Свойства фундаментальных последовательностей:

  1. Если последовательность $\{x_n\}$ фундаментальная, тогда существует такой номер $n_{0} \in N$ , что в $\epsilon$ -окрестности точки $x_0$ содержатся все члены последовательности, начиная с этого номера.
  2. Последовательность $\{x_n\}$ сходится тогда и только тогда, когда она ограниченная и верхний предел равен нижнему.

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий

Последовательность $\{x_n\}$ сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

Пример

Задание. Доказать сходимость последовательности $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{\sin \alpha}{2}+\frac{\sin 2 \alpha}{2^{2}}+\ldots+\frac{\sin n \alpha}{2^{n}}\right\}$, используя критерий Коши.

Доказательство. Покажем вначале, что заданная последовательность является фундаментальной, то есть для любого $\forall \epsilon>0$, $\exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) \in N$ : $\forall n, p>n_{0}$ : $\left|x_{n+p}-x_{n}\right|<\epsilon$ :

$$\left|x_{n+p}-x_{n}\right|=\mid \frac{\sin \alpha}{2}+\frac{\sin 2 \alpha}{2^{2}}+\ldots+\frac{\sin n \alpha}{2^{n}}+\ldots+$$ $$+\frac{\sin (n+p) \alpha}{2^{n+p}}-\left(\frac{\sin \alpha}{2}+\frac{\sin 2 \alpha}{2^{2}}+\ldots \frac{\sin n \alpha}{2^{n}}\right) \mid=$$ $$=\left|\frac{\sin (n+1) \alpha}{2^{n+1}}+\frac{\sin (n+2) \alpha}{2^{n+2}}+\ldots \frac{\sin (n+p) \alpha}{2^{n+p}}\right| \leq$$ $$\leq\left|\frac{\sin (n+1) \alpha}{2^{n+1}}\right|+\left|\frac{\sin (n+2) \alpha}{2^{n+2}}\right|+\ldots+\left|\frac{\sin (n+p) \alpha}{2^{n+p}}\right| \leq$$ $$\leq \frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+2}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+p}}<$$ $$<\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+2}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+p}}+\ldots=$$ $$=\frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n}} \lt \epsilon \Rightarrow 2^{n}>\frac{1}{\epsilon} \Rightarrow n>\log _{2} \frac{1}{\epsilon} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow n_{0}=\left[\log _{2} \frac{1}{\epsilon}\right]+1$$

Таким образом, для любого $\forall \epsilon>0$ существует номер $n_{0} \in N$, а значит рассматриваемая последовательность является фундаментальной, а тогда по критерию Коши она является сходящейся.

Читать дальше: предел функции в точке.

Слишком сложно?

Фундаментальные последовательности. Критерий Коши не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание