Фундаментальные последовательности. Критерий Коши

Задание. Доказать сходимость последовательности $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{\sin \alpha}{2}+\frac{\sin 2 \alpha}{2^{2}}+\ldots+\frac{\sin n \alpha}{2^{n}}\right\}$, используя критерий Коши.

Доказательство. Покажем вначале, что заданная последовательность является фундаментальной, то есть для любого $\forall \epsilon>0$, $\exists n_{0}=n_{0}(\epsilon) \in N$ : $\forall n, p>n_{0}$ : $\left|x_{n+p}-x_{n}\right|<\epsilon$ :

$$\left|x_{n+p}-x_{n}\right|=\mid \frac{\sin \alpha}{2}+\frac{\sin 2 \alpha}{2^{2}}+\ldots+\frac{\sin n \alpha}{2^{n}}+\ldots+$$ $$+\frac{\sin (n+p) \alpha}{2^{n+p}}-\left(\frac{\sin \alpha}{2}+\frac{\sin 2 \alpha}{2^{2}}+\ldots \frac{\sin n \alpha}{2^{n}}\right) \mid=$$ $$=\left|\frac{\sin (n+1) \alpha}{2^{n+1}}+\frac{\sin (n+2) \alpha}{2^{n+2}}+\ldots \frac{\sin (n+p) \alpha}{2^{n+p}}\right| \leq$$ $$\leq\left|\frac{\sin (n+1) \alpha}{2^{n+1}}\right|+\left|\frac{\sin (n+2) \alpha}{2^{n+2}}\right|+\ldots+\left|\frac{\sin (n+p) \alpha}{2^{n+p}}\right| \leq$$ $$\leq \frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+2}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+p}}<$$ $$<\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+2}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+p}}+\ldots=$$ $$=\frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n}} \lt \epsilon \Rightarrow 2^{n}>\frac{1}{\epsilon} \Rightarrow n>\log _{2} \frac{1}{\epsilon} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow n_{0}=\left[\log _{2} \frac{1}{\epsilon}\right]+1$$

Таким образом, для любого $\forall \epsilon>0$ существует номер $n_{0} \in N$, а значит рассматриваемая последовательность является фундаментальной, а тогда по критерию Коши она является сходящейся.