Понятие числовой последовательности

Основные понятия и определения

Определение

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел $N$ в некоторое множество $X$ : $\left\{x_{n}\right\}=\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}=\left\{x_{1} ; x_{2} ; \ldots ; x_{n} ; \ldots\right\}, x_{i} \in N$

Элемент $x_{1}$ называется первым членом последовательности, $x_{2}$ - вторым, ... , $x_{n}$ - $n$-ым или общим членом последовательности.

Пример

Задание. Для последовательности $x_{n}=\{-1 ; 2 ; 5 ; 8 ;-3 ; 0 ; \ldots\}$ определить, чему равен третий член $x_{3}$

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что $x_{3}=5$

Ответ. $x_{3}=5$

Задание последовательности формулой ее общего члена

Обычно последовательность целесообразнее задавать формулой ее общего члена, которая позволяет найти любой член последовательности, зная его номер.

Пример

Задание. Найти формулу общего члена последовательности $x_{n}=\{6 ; 20 ; 56 ; 144 ; 352 ; \ldots\}$

Решение. Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

$n=1 : x_{1}=6=2 \cdot 3=2^{1} \cdot 3=2^{1} \cdot(2 \cdot 1+1)$

$n=2 : x_{2}=20=4 \cdot 5=2^{2} \cdot 5=2^{2} \cdot(2 \cdot 2+1)$

$n=3 : x_{3}=56=8 \cdot 7=2^{3} \cdot 7=2^{3} \cdot(2 \cdot 3+1)$

Как видим, члены последовательности представляют собой произведение степени двойки, умноженной на последовательные нечетные числа, причем два возводится в степень, которая равна номеру рассматриваемого элемента.

Таким образом, делаем вывод, что

$x_{n}=2^{n} \cdot(2 n+1)$

Ответ. Формула общего члена: $x_{n}=2^{n} \cdot(2 n+1)$

Пример

Задание. Найти 15 член последовательности, заданной формулой $n$-го члена: $x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}, n \in N$

Решение. Для того чтобы найти $x_{15}$ , подставим в формулу общего члена значение $n=15$ . Получим:

$x_{15}=\frac{(-1)^{15}}{15}=-\frac{1}{15}$

Ответ. $x_{15}=\frac{(-1)^{15}}{15}=-\frac{1}{15}$

Пример

Задание. Проверить, являются ли числа $a=6$ и $b=1$ членами последовательности $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{n^{2}+11}{n+1}\right\}$

Решение. Число $a=6$ является членом последовательности $\left\{x_{n}\right\}, n \in N$ , если существует такой номер $n_{0} \in N$ , что $x_{n_{0}}=a=6$ :

$6=x_{n o}=\frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1} \Rightarrow \frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=6 \Rightarrow$

$\Rightarrow n_{0}^{2}-6 n_{0}+5=0 \Rightarrow=\left\{\begin{array}{l}{n_{0}=1} \\ {n_{0}=5}\end{array}\right.$

Таким образом, число $a=6$ является первым и пятым членами заданной последовательности.

Проверим теперь, является ли число $b=1$ членом указанной последовательности $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{n^{2}+11}{n+1}\right\}$ . Рассуждая аналогично, как и для $a=6$ , получаем:

$\frac{n_{0}^{2}+11}{n_{0}+1}=1 \Rightarrow n_{0}^{2}-n_{0}+10=0 \Rightarrow D=1-40=-39<0$

Таким образом, уравнение $n_{0}^{2}-n_{0}+10=0$ не имеет решение в натуральных числах, а значит, $b=1$ не является членом последовательности $\left\{x_{n}\right\}$

Ответ. Число $a=6$ является первым и пятым членами заданной последовательности, а $b=1$ не является членом последовательности $\left\{x_{n}\right\}=\left\{\frac{n^{2}+11}{n+1}\right\}$

Рекуррентный способ задания последовательности

Другим способом задания последовательности является задание последовательности с помощью рекуррентного соотношения. В этом случае задается один или несколько первых элементов последовательности, а остальные определяются по некоторому правилу. Например, известен первый член $x_{1}$ последовательности и известно, что $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$ , то есть $x_{2}=f\left(x_{1}\right), x_{3}=f\left(x_{2}\right)$ и так далее до нужного члена.

Пример

Примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , в которой каждое последующее число, начиная с третьего, является суммой двух предыдущих: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 и так далее. Данную последовательность можно задать рекуррентно:

$x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n \in N, x_{1}=x_{2}=1$

Пример

Задание. Последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ задана при помощи рекуррентного соотношения $x_{n+2}=\frac{1}{2}\left(x_{n+1}+x_{n}\right), x_{1}=2, x_{2}=4$ . Выписать несколько первых членов этой последовательности.

Решение. Найдем третий член заданной последовательности:

$x_{3}=\frac{1}{2}\left(x_{2}+x_{1}\right)=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$

Аналогично находим далее, что

$x_{4}=\frac{1}{2}\left(x_{3}+x_{2}\right)=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}=3,5$

$x_{5}=\frac{1}{2}\left(x_{4}+x_{3}\right)=\frac{3+3,5}{2}=\frac{6,5}{2}=3,25$

и так далее.

При рекуррентном задании последовательностей, получаются очень громоздкими выкладки, так как, чтобы найти элементы с большими номерами, необходимо найти все предыдущие члены указанной последовательности, например, для нахождения $x_{500}$ надо найти все предыдущие 499 членов.


Читать дальше: ограниченные последовательности.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация