Рассмотрим функцию $y=f(x)$, заданную на $R$.

Определение

Число $b$ называется пределом функции $y=f(x)$ на бесконечности или при $x \rightarrow \infty$, если для любого $\forall \epsilon>0$ существует число $\delta=\delta(\epsilon)>0$ такое, что для всех $x \in D(f)$ из того, что $|x|>M$, выполняется неравенство $|f(x)-b| \lt \epsilon$.

Бесконечно большая функция

Определение

Функция $f(x)$ называется бесконечно большой в точке $a$, если для любого $M>0$ существует такое $\delta=\delta(M)>0$, что для любого $x \in D(f)$, удовлетворяющего неравенству $0 \leq |x-a| \leq \delta$, выполняется неравенство: $|f(x) \geq M|$. В этом случае пишут: $\lim _{x \rightarrow a+0} f(x)=\infty$

Пример

Бесконечно большой функцией в точке 0 является функция $f(x)=\frac{1}{x}$

Определение

Функция $f(x)$ называется бесконечно большой при $x \rightarrow \infty$, если для любого $M>0$ существует такое число $\delta=\delta(\epsilon)>0$ такое, что для всех $x$ из области определения функции $D(f)$, которые удовлетворяют неравенству $|x|>\delta$, выполняется неравенство $|f(x)|>M$: $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty$

Слишком сложно?

Предел функции на бесконечности. Бесконечно большая функция не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Функция $y=e^x$ является бесконечно большой функцией при $x \rightarrow \infty$.

Читать дальше: cвойства пределов функции.