Натуральный логарифм

Для различного рода теоретических и практических исследований наиболее удобным основанием логарифма является иррациональное число $e$.

Определение

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ ( $\log _{a} b$ ) называется такое число $c$, что $b=a^{c}$. Логарифм имеет смысл, если $a>0, a \neq 1, b>0$.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию $e$. Такие логарифмы обозначаются символом ln. Запись $\ln x$ означает тоже самое, что и $\log _{e} x$.

Основание натурального логарифма - число е.

Свойства и основные формулы натурального логарифма

1°    $\ln 1=0$

Натуральный логарифм единицы равен нулю (Заметим, что логарифм по любому основанию от 1 равен 0).

2°    $\ln e=1$

3°    $\ln (x y)=\ln x+\ln y$

4°    $\ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y$

5°    $\ln x^{n}=n \cdot \ln x$

6°    График функции $y=\ln x$ :

График натурального логарифма, функции

Примеры решения задач

Пример

Задание. Вычислить $\frac{2 \ln 3 e-\ln 9}{3 \ln 5 e-\frac{3}{2} \ln 25}$

Решение. Преобразуем данное выражение, применяя к первым логарифмам в числителе и знаменателе свойство суммы логарифмов, а ко вторым свойство логарифма степени.

$\frac{2 \ln 3 e-\ln 9}{3 \ln 5 e-\frac{3}{2} \ln 25}=\frac{2(\ln 3+\ln e)-\ln 3^{2}}{3(\ln 5+\ln e)-\frac{3}{2} \ln 5^{2}}=$

$=\frac{2 \ln 3+2 \ln e-2 \ln 3}{3 \ln 5+3 \ln e-3 \ln 5}=\frac{2 \ln e}{3 \ln e}=\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}=\frac{2}{3}$

Ответ. $\frac{2 \ln 3 e-\ln 9}{3 \ln 5 e-\frac{3}{2} \ln 25}=\frac{2}{3}$

Дополнительный материал

7°    $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$

8°    $\int \ln x \mathrm{d} x=x \ln x-x+C$

9°    $\lim _{x \rightarrow 0+} \ln x=-\infty$

10°    Ряд Маклорена для натурального логарифма:

$\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ldots+(-1)^{n+1} \cdot \frac{x^{n}}{n}+\ldots,|x|<1$

Пример

Задание. Разложить в ряд Маклорена функцию $f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)$

Решение. Сделаем замену $x^{2}=t$, тогда $f(x)=\ln (1+t)$. Используя приведенное выше разложение, получаем:

$f(x)=\ln (1+t)=t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3}-\ldots+(-1)^{n+1} \cdot \frac{t^{n}}{n}+\ldots,|t|<1$

Делаем обратную замену, получаем:

$f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)=x^{2}-\frac{\left(x^{2}\right)^{2}}{2}+\frac{\left(x^{2}\right)^{3}}{3}-\ldots+(-1)^{n+1} \cdot \frac{\left(x^{2}\right)^{n}}{n}+\ldots,\left|x^{2}\right|<1$

или $f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)=x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{3}-\ldots+(-1)^{n+1} \cdot \frac{x^{2 n}}{n}+\ldots, |x|<1$

Читать дальше: десятичный логарифм.

Другая информация