Натуральный логарифм

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ ( $\log _{a} b$ ) называется такое число $c$, что $b=a^{c}$. Логарифм имеет смысл, если $a>0, a \neq 1, b>0$.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию $e$. Такие логарифмы обозначаются символом ln. Запись $\ln x$ означает тоже самое, что и $\log _{e} x$.

Основание натурального логарифма - число е.

Задание. Вычислить $\frac{2 \ln 3 e-\ln 9}{3 \ln 5 e-\frac{3}{2} \ln 25}$

Решение. Преобразуем данное выражение, применяя к первым логарифмам в числителе и знаменателе свойство суммы логарифмов, а ко вторым свойство логарифма степени.

$\frac{2 \ln 3 e-\ln 9}{3 \ln 5 e-\frac{3}{2} \ln 25}=\frac{2(\ln 3+\ln e)-\ln 3^{2}}{3(\ln 5+\ln e)-\frac{3}{2} \ln 5^{2}}=$

$=\frac{2 \ln 3+2 \ln e-2 \ln 3}{3 \ln 5+3 \ln e-3 \ln 5}=\frac{2 \ln e}{3 \ln e}=\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1}=\frac{2}{3}$

Ответ. $\frac{2 \ln 3 e-\ln 9}{3 \ln 5 e-\frac{3}{2} \ln 25}=\frac{2}{3}$

Задание. Разложить в ряд Маклорена функцию $f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)$

Решение. Сделаем замену $x^{2}=t$, тогда $f(x)=\ln (1+t)$. Используя приведенное выше разложение, получаем:

$f(x)=\ln (1+t)=t-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{3}-\ldots+(-1)^{n+1} \cdot \frac{t^{n}}{n}+\ldots,|t|<1$

Делаем обратную замену, получаем:

$f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)=x^{2}-\frac{\left(x^{2}\right)^{2}}{2}+\frac{\left(x^{2}\right)^{3}}{3}-\ldots+(-1)^{n+1} \cdot \frac{\left(x^{2}\right)^{n}}{n}+\ldots,\left|x^{2}\right|<1$

или $f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)=x^{2}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{3}-\ldots+(-1)^{n+1} \cdot \frac{x^{2 n}}{n}+\ldots, |x|<1$