Односторонние пределы

Определение

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Левый и правый пределы функции

Определение

Число $b$ называется правым пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для $\forall \epsilon>0$ $\exists \delta>0$ такое, что для любого $x \in D[f]$ и $a< x< a+\delta$, выполняется неравенство $|f(x)-b|<\epsilon$ (рис. 1). Правый предел обозначается $\lim _{x \rightarrow a+0} f(x)=\lim _{x \rightarrow a+} f(x)=f(a+0)=b$

Число $b$ называется левым пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для $\forall \epsilon>0$ $\exists \delta>0$ такое, что для любого $x \in D[f]$ и $a-\delta< x< a$, выполняется неравенство $|f(x)-b|<\epsilon$ (рис. 2). Левый предел обозначается $\lim _{x \rightarrow a-0} f(x)=\lim _{x \rightarrow a-} f(x)=f(a-0)=b$

Односторонние пределы - левый и правый пределы функции

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Теорема

Если существуют $f(a-0)$ и $f(a+0)$, причем $f(a-0)=f(a+0)=b$, то существует и $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$. Обратное утверждение также верно.

В случае, если $f(a-0) \neq f(a+0)$, то предел $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ не существует.

Пример

Задание. Найти односторонние пределы функции $f(x)=\frac{1}{x}$ при $x \rightarrow 0$

Решение. Правый предел: $\lim _{x \rightarrow 0+0} \frac{1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{1}{x}=f(0+0)=\frac{1}{0+0}=\frac{1}{0}=+\infty$

Левый предел: $\lim _{x \rightarrow 0-0} \frac{1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0-} \frac{1}{x}=f(0-0)=\frac{1}{0-0}=\frac{1}{-0}=-\infty$

Читать дальше: предел функции на бесконечности, бесконечно большая функция.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация