Монотонность функции и ее связь с производной

Монотонность функции, основные понятия и определения

Определение

Функция называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

Пример

Функция является возрастающей на промежутке , так как:

для

Определение

Функция называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

Пример

Функция является строго убывающей на промежутке , так как:

для

Функция строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.

Определение

Функция называется неубывающей на промежутке, если из неравенства следует неравенство .

Функция называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства следует неравенство .

Связь монотонности функции с ее производной

Теорема

(Об условии возрастания/убывания монотонной функции)

Если производная функции на некотором промежутке , то функция возрастает на этом промежутке; если же на промежутке , то функция убывает на этом промежутке.

Замечание

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то или не существует.

Пример

Задание. Исследовать функцию на монотонность на всей числовой прямой.

Решение. Найдем производную заданной функции:

Для любого действительного : , а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси.

Ответ. Функция возрастает на всей действительной оси.

Читать дальше: понятие экстремума функции.