Формулы Маклорена и Тейлора

Рассмотрим многочлен -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его раз по переменной , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке :

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени .

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен по степеням разности , где - любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .

Пример

Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию в точке .

Решение. Найдем производные:

Итак, , , . Значение функции в точке

Таким образом,

Ответ.

Для произвольной функции , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки принимает вид:

Последнее слагаемое называется остаточным членом в форме Пеано.

Замечание

Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора при .

Пример

Задание. Найти ряд Тейлора функции , где - некоторое действительное число, в окрестности точки .

Решение. Так как ряд строится в окрестности точки , то в этом случае надо построить ряд Маклорена. Найдем значение заданной функции и ее производных в указанной точке:

Следовательно, искомый ряд

Ответ.

Читать дальше: разложение в ряд Маклорена элементарных функций.