Понятие определителя матрицы

Определение

Квадратной матрице Квадратная матрица -го порядка ставиться в соответствие число Определитель матрицы, называемое определителем матрицы или детерминантом.

Свойства определителей:

Замечание

Все что будет сказано относительно строк, будет относиться и к столбцам.

1°    При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

Пример

Известно, что определитель матрицы равен 3. Тогда определитель матрицы , которая равна , также равен 3.

2°    Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Пример

3°   

То есть, если квадратная матрица -го порядка умножается на некоторое ненулевое число , то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на число в степени, равной порядку матриц.

Пример

Задание. Пусть определитель матрицы третьего порядка равен 3, вычислить определитель матрицы .

Решение. По свойству

Ответ.

4°    Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.

5°    Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Пример

6°    Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Пример

7°    Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Пример

8°    Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Пример

9°    Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Пример

Пусть задан определитель третьего порядка . Прибавим ко второй строке определителя третью его строку, при этом значение определителя не измениться:

10°    Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Пример

11°    Определитель произведения матриц равен произведению определителей:


Читать дальше: минор и алгебраическое дополнение.