Умножение матриц

Определение

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что элемент матрицы , стоящий в -ой строке и -ом столбце, т.е. элемент , равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -ого столбца матрицы .

Замечание

Умножать матрицы можно тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Пример

Задание. Вычислить и , если

Решение. Так как , а , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица , а это матрица вида .

Вычислим элементы матрицы :

Итак, .

Выполним произведения в более компактном виде:


Найдем теперь произведение . Так как количество столбцов матрицы (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы не совпадает с количеством строк матрицы .

Свойства произведения матриц:

  1. Ассоциативность
  2. Ассоциативность по умножению
  3. Дистрибутивность ,
  4. Умножение на единичную матрицу
  5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.

Читать дальше: транспонирование матрицы.