Условия Коши-Римана.
Восстановление функции комплексной переменной по ее действительной или мнимой части

Определение

Условия Коши-Римана, которые также в некоторых источниках называются условиями Даламбера-Эйлера - соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного , где .

Для того чтобы функция , которая определена в некоторой области комплексной плоскости , была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

Эти условия впервые появились в работе французского ученого-энциклопедиста, философа, математика и механика Жана Лерона Даламбера (1717 - 1783) в 1752 году. В работе швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонардо Эйлера (1707 - 1783), доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Великий французский математик и механик Огюстен Луи Коши (178 9- 1857) пользовался этими соотношениями для построения теории функций.

Пусть задана действительная часть функции комплексной переменной . Требуется найти мнимую часть этой функции. Найти саму функцию , используя некоторое начальное условие.

Алгоритм решения состоит в следующем:

1) Используя условия Коши-Римана, находим мнимую часть .

2) Когда и действительная, и мнимая части функции известны, составляем функцию . Далее в полученном выражении надо произвести такие преобразования, чтобы выделить переменную или , то есть "избавиться" от переменных и .

Замечание 1

На практике будут полезны соотношения:

Замечание 2

Поделить на мнимую единицу равносильно умножению на .

3) В конечном итоге будет получена функция , выражение которой содержит только комплексную переменную и константы. Используя начальное условие, если оно задано, находим значение константы и окончательно получаем искомую функцию.

Аналогично по известной мнимой части можно найти действительную часть . Алгоритм решения практически идентичен.

Пример

Задание. По действительной часть функции комплексной переменной восстановить мнимую часть данной функции и составить саму функцию, которая удовлетворяет начальному условию .

Решение. 1) Сначала найдем мнимую часть функции . Из первого условия Коши-Римана имеем, что

то есть

Тогда

Если мы продифференцируем последнее равенство по (то есть найдем ), то как раз получим . Отсюда

Неизвестной остается функция .

Согласно второму условию Коши-Римана имеем:

то есть

Из последнего равенства определяем, что

Итак,

2) Мнимая часть искомой функции восстановлена, тогда можем записать саму функцию:

Далее наша задача так сгруппировать слагаемые, чтобы выделить переменную или какую-либо ее степень. Раскроем скобки и перепишем полученное выражение следующим образом:

Тогда согласно замечанию 1 первую скобку свернем как квадрат суммы, а согласно замечанию 2 во вторых скобках преобразуем выражение. Имеем, что:

Итак, получили, что в выражении искомой функции присутствует только переменная и константа.

3) Используя начальное условие , найдём значение константы . Для этого в выражении функции заменим на 0, также равно 0, будем иметь:

Таким образом,

С учетом того, что , запишем, что мнимая часть .

Ответ.

Читать первую тему - понятие комплексного числа, раздела комплексные числа.