Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни $z_{1}=1-i$ и $z_{2}=4-5i$. Решить его.
Решение. Известно, что если $z_1$, $z_2$ - корни квадратного уравнения $z^2+bz+c=0$, то указанное уравнение можно записать в виде $(z-z_1)(z-z_2)=0$. А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение можно записать следующим образом:
$$(z-(1-i))(z-(4-5 i))=0$$Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:
$$z^{2}-(4-5 i) z-(1-i) z+(1-i)(4-5 i)=0$$ $$z^{2}+z(-4+5 i-1+i)+4-5 i-4 i+5 i^{2}=0$$$z^{2}+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$ - искомое квадратное уравнение.
Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:
$$D=(-5+6 i)^{2}-4 \cdot 1 \cdot(-(1+9 i))=-11-60 i+4+36 i=$$ $$=-7-24 i$$Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде $\sqrt{D}=a+b i$. То есть
$$\sqrt{-7-24 i}=a+b i \Rightarrow-7-24 i=(a+b i)^{2} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow-7-24 i=a^{2}+2 a b i-b^{2}$$Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений $a$ и $b$:
$$\left\{\begin{array}{l}a^{2}-b^{2}=-7 \\ 2 a b=-24\end{array}\right.$$решив которую, имеем, что $a_1=3$, $b_1=-4$ или $a_2=-3$, $b_2=4$. Рассматривая любую из полученных пар, например, первую, получаем, что $\sqrt{D}=3-4 i$, а тогда
$$z_{1}=\frac{-(-5+6 i)+(3-4 i)}{2 \cdot 1}=4-5 i$$ $$z_{2}=\frac{-(-5+6 i)-(3-4 i)}{2 \cdot 1}=1-i$$Ответ. $z^{2}+(-5+6 i) z-(1+9 i)=0$
