Квадратное уравнение с комплексными корнями и коэффициентами

Пусть задано квадратное уравнение , где коэффициенты , и - в общем случае являются комплексными. Его решение находим с помощью дискриминанта

тогда

В общем случае и дискриминант, и корни уравнения являются комплексными числами.

Пример

Задание. Составить квадратное уравнение, которое имеет корни и . Решить его.

Решение. Известно, что если - корни квадратного уравнения , то указанное уравнение можно записать в виде . А тогда, учитывая этот факт, имеем, что искомое уравнение можно записать следующим образом:

Раскрываем скобки и выполняем операции над комплексными числами:

- искомое квадратное уравнение.

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант:

Так как при извлечении корня из комплексного числа в результате получится комплексное число, то корень из дискриминанта будем искать в виде . То есть

Используя тот факт, что два комплексных числа будут равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно, получим систему для нахождения неизвестных значений и :

решив которую, имеем, что , или , . Рассматривая любую из полученных пар, например, первую, получаем, что , а тогда

Ответ.

Читать дальше: элементарные функции комплексного аргумента.