Сокращение дроби

Определение

Сокращением дроби называется замена ее другой, равной ей дробью с меньшими членами, путем деления числителя и знаменателя на их общий делитель.

Сокращать дроби можно последовательным сокращением на общие делители числителя и знаменателя.

Пример

Задание. Сократить дробь  

Решение. Как видим, числитель и знаменатель заданной дроби являются четными числами, а поэтому и можно сократить на их общий делитель - 2:

Аналогично, общим делителем полученных числителя 24 и знаменателя 44 есть число 4, а поэтому производим дальнейшее сокращение на 4:

Полученные числа - 6 и 11 - уже являются взаимно простыми.

Итак, после сокращения окончательно имеем:

Ответ.   

Также сокращать можно сразу на наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который можно находить либо с помощью канонических разложений на простые множители, либо с помощью алгоритма Евклида.

Определение

Наибольшим общим делителем чисел называется наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка.

Пример

Задание. Сократить дробь

Решение. Вначале найдем НОД чисел 840 и 3600 двумя способами.

Первый способ: с помощью канонических разложений на простые множители. Запишем указанные канонические разложения:

Таким образом,

Из полученных разложений выписываем одинаковые множители в наименьшей степени, что и определяет НОД:

НОД (840, 3600)

Второй способ: с помощью алгоритма Евклида (Евклид или Эвклид (325 г. до н.э. - 265 г. до н.э.) - древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике).

НОД двух чисел равен последнему, неравному нулю остатку в алгоритме Евклида. Будем выполнять деление в столбик. Начнем с того, что знаменатель 3600 поделим на числитель 840 (большее число делится на меньшее):

Итак, НОД (840, 3600) = 120

После того, как НОД найден, делим числитель и знаменатель дроби на 120, в результате получим:

Ответ.   

Определение

Если числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, то есть являются взаимно простыми числами, то дробь называется несократимой.

Например.  


Читать следующую тему: раздробление дробей.