Производная корня икс

Формула

$$(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$$

Производная от корня равна единице, деленной на два таких же корня.

Если под корнем находится сложная функция $u=u(x)$, то производная от корня этой функции будет равна: единице, деленной на два таких же корня и умноженной на производную подкоренного выражения, то есть

$$(\sqrt{u})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot u^{\prime}$$

Примеры вычисления производной корня

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \sqrt{x}$

Решение. Искомая производная равна:

$$y^{\prime}(x)=(2 \sqrt{x})^{\prime}$$

Согласно правилам дифференцирования, вынесем константу 2 за знак производной, в итоге будем иметь:

$$y^{\prime}(x)=2 \cdot(\sqrt{x})^{\prime}=2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\sqrt{2 x}$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(\sqrt{2 x})$$

Находим как производную сложной функции, то есть вначале находим как производную от корня, а затем умножаем на производную подкоренного выражения. В результате будем иметь:

$$y^{\prime}(x)=(\sqrt{2 x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{2 x}} \cdot(2 x)^{\prime}$$

Константу выносим за знак производной, а производная независимой переменной равна единице, тогда получаем:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{2 x}} \cdot 2 \cdot(x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot 1=\frac{1}{\sqrt{2 x}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)==\frac{1}{\sqrt{2 x}}$

Читать дальше: производная синуса (sinx)'.

Другая информация