Производная арктангенса

Формула

$$(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$$

Производная арктангенса равна единице, деленной на единицу плюс аргумент в квадрате.

Заметим, что если аргумент у арктангенса есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто $x$, то производную нужно находить по следующей формуле:

$$(\operatorname{arctg} u)^{\prime}=\frac{1}{1+u^{2}} \cdot u^{\prime}$$

Примеры вычисления производной арктангенса

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=4$ arctg $x$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(4 \operatorname{arctg} x)^{\prime}$$

Согласно правилам дифференцирования, константу можно выносить за знак производной:

$$y^{\prime}(x)=4 \cdot(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=4 \cdot \frac{1}{1+x^{2}}=\frac{4}{1+x^{2}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{4}{1+x^{2}}$

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\operatorname{arctg} x-1$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(\operatorname{arctg} x-1)^{\prime}$$

Производная разности равна разности производных, тогда получим:

$$y^{\prime}(x)=(\operatorname{arctg} x)^{\prime}-(1)^{\prime}$$

Производную арктангенса находим по формуле, а производная единицы равна нулю:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-0=\frac{1}{1+x^{2}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$

Читать дальше: производная арккотангенса (arcctgx)'.

Другая информация