Содержание:

Формула

$$(\operatorname{ctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}$$

Производная котангенса равна минус единица, деленная на синус в квадрате.

Заметим, что если аргумент у котангенса есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто $x$), то производную нужно находить по следующей формуле:

$$(\operatorname{ctg} u)^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} u} \cdot u^{\prime}$$

Примеры вычисления производной котангенса

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \operatorname{ctg} x$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(2 \operatorname{ctg} x)^{\prime}$$

Согласно правилам дифференцирования константу можно выносить за знак производной, тогда получаем, что

$$y^{\prime}(x)=2 \cdot(\operatorname{ctg} x)^{\prime}=2 \cdot\left(-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)=-\frac{2}{\sin ^{2} x}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=-\frac{2}{\sin ^{2} x}$

Слишком сложно?

Производная котангенса не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\operatorname{ctg} x+\operatorname{ctg} 2$

Решение. Искомая производная

$y^{\prime}(x)=(\operatorname{ctg} x+\operatorname{ctg} 2)^{\prime}$

Производная суммы равна сумме производных, поэтому

$y^{\prime}(x)=(\operatorname{ctg} x)^{\prime}+(\operatorname{ctg} 2)^{\prime}$

Производную первого слагаемого находим по формуле, а производная второго слагаемого, как производная константы, равна нулю:

$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sin ^{2} x}+0=-\frac{1}{\sin ^{2} x}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sin ^{2} x}$

Читать дальше: производная арксинуса (arcsinx)'.