Производная сложной функции

Формула

$$(u(v(x)))^{\prime}=u^{\prime}(v) \cdot v^{\prime}(x)$$

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции, умноженной на производную от внутренней функции.

В данной формуле функция $u(x)$ называется внутренней функцией аргумента $x$, а функция $u(v)$ - внешней функцией.

Примеры вычисления производной сложной функции

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=\ln (x-3)$

Решение. Так как в аргументе логарифма находится не просто $x$, а выражение $x-3$, то применить просто производную натурального логарифма нельзя, так как имеем дело со сложной функцией. В данном случае внутренняя функция $v(x)=x-3$, а внешняя - $u(v)=\ln v=\ln(x-3)$. Тогда искомая производная равна:

$$y^{\prime}(x)=(\ln (x-3))^{\prime}=\frac{1}{x-3} \cdot(x-3)^{\prime}$$

Производная от разности равна разности производных, то есть имеем:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{x-3} \cdot\left[(x)^{\prime}-(3)^{\prime}\right]=\frac{1}{x-3} \cdot(1-0)=\frac{1}{x-3}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{x-3}$

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\sin (3x-2)$

Решение. Так аргумент синуса отличен от просто $x$, то производную синуса надо умножить еще на производную аргумента. Будем иметь:

$$y^{\prime}(x)=(\sin (3 x-2))^{\prime}=\cos (3 x-2) \cdot(3 x-2)^{\prime}$$

Производная от разности равна разности производных:

$$y^{\prime}(x)=\cos (3 x-2) \cdot\left[(3 x)^{\prime}-(2)^{\prime}\right]$$

Константу вынесем за знак производной, а производная константы равна нулю:

$$y^{\prime}(x)=\cos (3 x-2) \cdot(3-0)=3 \cos (3 x-2)$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=3 \cos (3 x-2)$

Читать дальше: производная константы (c)'.

Другая информация