Производная синуса

Формула

$$(\sin x)^{\prime}=\cos x$$

Производная синуса равна косинусу того же аргумента.

Заметим, что если аргумент у синуса есть сложная функция (то есть там стоит более сложное выражение, чем просто $x$), то производную нужно находить по следующей формуле:

$$(\sin u)^{\prime}=\cos u \cdot u^{\prime}$$

Примеры вычисления производной синуса

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \sin x$

Решение. Запишем искомую производную:

$$y^{\prime}(x)=(2 \sin x)^{\prime}$$

По правилам дифференцирования выносим двойку за знак производной:

$$y^{\prime}(x)=2 \cdot(\sin x)^{\prime}$$

и производная от синуса равна косинусу:

$$y^{\prime}(x)=2 \cdot \cos x=2 \cos x$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=2 \cos x$

Пример

Задание. Продифференцировать функцию $y(x)=\sin 2 x$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(\sin 2 x)^{\prime}$$

Так как аргумент синуса является сложной функцией (там вместо просто $x$ стоит $2x$), то находим производную сложной функции, то есть находим производную синуса и умножаем на производную аргумента:

$$y^{\prime}(x)=\cos 2 x \cdot(2 x)^{\prime}$$

Константу выносим за знак производной, а производная от независимой переменной $x$ равна единице:

$$y^{\prime}(x)=\cos 2 x \cdot 2 \cdot(x)^{\prime}=2 \cos 2 x \cdot 1=2 \cos 2 x$$

Ответ. $y^{\prime}(x)==2 \cos 2 x$

Читать дальше: производная косинуса (cosx)'.

Другая информация