Производная арксинуса

Формула

$(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Производная арксинуса равна единице, деленной на корень квадратный из разности единицы и аргумента в квадрате.

Если аргумент арксинуса отличен от $x$, то производную ищем как производную сложной функции, то есть по формуле:

$$(\arcsin u)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} \cdot u^{\prime}$$

то есть производную от арксинуса умножаем еще на производную аргумента.

Примеры вычисления производной арксинуса

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=\frac{\arcsin x}{2}$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=\left(\frac{\arcsin x}{2}\right)^{\prime}$$

По правилам дифференцирования выносим константу за знак производной:

$$y^{\prime}(x)=\frac{1}{2} \cdot(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}}$

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=3 \arcsin x-2$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(3 \arcsin x-2)^{\prime}$$

Производная разности функций равна разности производных этих функций:

$$y^{\prime}(x)=(3 \arcsin x)^{\prime}-(2)^{\prime}$$

В первом слагаемом вынесем 3 за знак производной, а вторая производная равна нулю, так как 2 - константа:

$$y^{\prime}(x)=3 \cdot(\arcsin x)^{\prime}-0=3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Читать дальше: производная арккосинуса (arccosx)'.

Другая информация