Правила вычисления производных

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ имеют производные в точке $x$. Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

$(c \cdot u(x))^{\prime}=c \cdot u^{\prime}(x), c=$const

Пример

$\left(2 x^{2}\right)^{\prime}=2 \cdot\left(x^{2}\right)^{\prime}$

Больше примеров решений

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

$(u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x)$

Пример

$\left(\sin x^{2}+\ln 3 x\right)^{\prime}=\left(\sin x^{2}\right)^{\prime}+(\ln 3 x)^{\prime}$

Больше примеров решений

3. Производная произведения.

$(u(x) \cdot v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$

Пример

$\left(x^{2} \cdot \cos x\right)^{\prime}=\left(x^{2}\right)^{\prime} \cdot \cos x+x^{2} \cdot(\cos x)^{\prime}$

Больше примеров решений

4. Производная частного.

$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}, v(x) \neq 0$

Пример

$\left(\frac{x}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{(x)^{\prime} \cdot \sin x-x \cdot(\sin x)^{\prime}}{(\sin x)^{2}}$

Больше примеров решений

5. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу $u$, умноженной на производную от промежуточного аргумента $u$ по основному аргументу $x$.

$y=y(u)$ и $u=u(x)$ имеют производные соответственно в точках $u_{0}=u\left(x_{0}\right)$ и $x_{0}$ . Тогда

$y\left.(u(x))_{x}^{\prime}\right|_{x=x_{0}}=y^{\prime}\left.(u)\right|_{u=u_{0}} \cdot u^{\prime}\left.(x)\right|_{x=x_{0}}$

Теорема

(О производной обратной функции)

Если функция $y=f(x)$ непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и дифференцируема в этой точке, то обратная функция $x=f^{-1}(y)$ имеет производную в точке $y_{0}=f\left(x_{0}\right)$, причем $\frac{\mathrm{d} f^{-1}\left(y_{0}\right)}{\mathrm{d} y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d} f\left(x_{0}\right)}{\mathrm{d} x}}$ .

Читать дальше: правила вычисления дифференциалов.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация