Содержание:

Формула

$$(\operatorname{arcctg} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}$$

Производная арккотангенса равна минус единице, деленной на единицу плюс аргумент в квадрате.

Если аргумент арккотангенса отличен от $x$, то производную ищем как производную сложной функции, то есть по формуле:

$$(\operatorname{arcctg} u)^{\prime}=-\frac{1}{1+u^{2}} \cdot u^{\prime}$$

то есть производную от арккотангенса умножаем еще на производную аргумента.

Примеры вычисления производной арккотангенса

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=4 \operatorname{arctg} x-3$

Решение. Искомая производная

$$y^{\prime}(x)=(4 \operatorname{arcctg} x-3)^{\prime}$$

Производная разности равна разности производных, поэтому получаем, что

$$y^{\prime}(x)=(4 \operatorname{arctg} x)^{\prime}-(3)^{\prime}$$

Четверку выносим за знак производной (согласно правилам дифференцирования), а производная 3, как константы, равна нулю:

$$y^{\prime}(x)=4 \cdot(\operatorname{arcctg} x)^{\prime}-0=4 \cdot\left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)=-\frac{4}{1+x^{2}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=-\frac{4}{1+x^{2}}$

Слишком сложно?

Производная арккотангенса не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=\operatorname{arctg} 3 x$

Решение. Производная заданной функции равна:

$$y^{\prime}(x)=(\operatorname{arcctg} 3 x)^{\prime}$$

Производную от арккотангенса берем по формуле и так как аргумент есть сложная функция (выражение отлично от просто $x$ ), то умножаем еще на производную аргумента. Будем иметь:

$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{1+(3 x)^{2}} \cdot(3 x)^{\prime}$$

Тройку выносим за знак производной, а производная от независимой переменной равна единице:

$$y^{\prime}(x)=-\frac{1}{1+9 x^{2}} \cdot 3 \cdot(x)^{\prime}=-\frac{3}{1+9 x^{2}} \cdot 1=-\frac{3}{1+9 x^{2}}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=-\frac{3}{1+9 x^{2}}$

Читать дальше: производная логарифма (logx)'.