Производная логарифма

Формула

$$\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$$

Производная логарифмической функции по основанию $a$ равна единице, деленной на произведение подлогарифмической функции на натуральный логарифм основания.

Напомним, что есть специальные обозначения для логарифмов:

  • Десятичный логарифм, $\lg x$ - это логарифм по основанию 10, то есть $\lg x=\log _{10} x$ ;
  • Натуральный логарифм, $\ln x$ - это логарифм по основанию $e$, то есть $\ln x=\log _{e} x$ .

Примеры вычисления производной логарифма

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=\log _{3} x$

Решение. Согласно формуле имеем, что

$$y^{\prime}(x)=\left(\log _{3} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln 3}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{1}{x \ln 3}$

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=2 \lg x$

Решение. Искомая производная равна:

$$y^{\prime}(x)=(2 \lg x)^{\prime}$$

По правилам дифференцирования выносим константу за знак производной, а логарифм в условии десятичный, значит его основание равно 10, тогда имеем:

$$y^{\prime}(x)=2 \cdot(\lg x)^{\prime}=2 \cdot \frac{1}{x \ln 10}=\frac{2}{x \ln 10}$$

Ответ. $y^{\prime}(x)=\frac{2}{x \ln 10}$

Читать дальше: производная натурального логарифма (lnx)'.

Другая информация