Что такое параллелограмм

Определение параллелограмма

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

На рисунке 1 изображен параллелограмм , , .

Свойства параллелограмма

  1. В параллелограмме противоположные стороны равны: , (рис 1).
  2. В параллелограмме противоположные углы равны , (рис 1).
  3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам , (рис 1).
  4. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна :

     , 

     , 

  6. Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением:

  7. В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: .
  8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.
  9. Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник будет параллелограммом, если

  1. и
  2. и
  3. и
  4. и

Площадь параллелограмма можно вычислить по одной из следующих формул:

Примеры решения задач

Пример

Задание. Сумма двух углов параллелограмма равна . Найти больший угол параллелограмма.

Решение. В параллелограмме противоположные углы равны. Обозначим больший угол параллелограмма , а меньший угол . Сумма углов и равна , поэтому заданная сумма, равная , это сумма двух противоположных углов, тогда . Таким образом меньший угол . Больший угол найдем из соотношения:

Ответ.

Пример

Задание. Стороны параллелограмма равны 18 см и 15 см, а высота, проведенная к меньшей стороне, равна 6 см. Найти другую высоту параллелограмма.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2)

По условию, см, см, см. Для параллелограмма справедливы следующие формулы для нахождения площади:

Приравняем правые части этих равенств, и выразим, из полученного равенства, :

Подставляя исходные данные задачи, окончательно получим:

(см)

Ответ.

Читать дальше: что такое трапеция.