Задание.

Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение.

Разложим сначала данную функцию на сумму простейших рациональных дробей при помощи метода неопределенных коэффициентов:

Найдем неизвестные коэффициенты и , для этого приведем к общему знаменателю дроби, стоящие в правой части равенства, а затем приравняем числители:

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получим систему для нахождения коэффициентов и :

Решая эту систему, получим , . Тогда исходная дробь разлагается в сумму таких дробей:

По формулам разложения элементарных функций в ряд Маклорена, а в частности, по формуле

получаем, что первая дробь есть в точности эта формула, а вторая примет вид:

при условии, что или .

Таким образом, складывая эти два полученные ряда, в итоге будем иметь:

при этом первый ряд сходится при , а второй при , тогда ряд для исходной функции будет сходиться, при

Ответ.

,

Следующий пример →