Точки разрыва функции и их классификация

Определение точки разрыва

Определение

Точка $a$, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

  1. функция $f(x)$ определена в точке и ее окрестности;
  2. существует конечный предел функции $f(x)$ в точке $a$;
  3. это предел равен значению функции в точке $a$, т.е. $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция $y=\sqrt{x}$ не определена в точке $x=-1$, а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке $a$ существуют конечные пределы $f(a-0)$ и $f(a+0)$, такие, что $f(a-0) \neq f(a+0)$, то точка $a$ называется точкой разрыва первого рода.

Пример

Функция $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{0, x>1} \\ {1, x \leq 1}\end{array}\right.$ в точке $x=1$ имеет разрыв первого рода, так как

$f(1-0)=1$, а $f(1+0)=0$

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов $f(a-0)$ или $f(a+0)$ не существует или равен бесконечности, то точка $a$ называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции $y=\frac{1}{x}$ точка $x=0$ - точка разрыва второго рода, так как $f(0-0)=-\infty$ .

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции $f(x)$ в точке $a$: $f(a) \neq f(a-0)=f(a+0)$ или функция $f(x)$ не определена в точке $a$, то точка $a$ называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{3 x+1, x<0} \\ {1-4 x, x>0} \\ {e^{2}, x=0}\end{array}\right.$ . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке $x=0$:

$f(0)=e^{2}$

$f(0-0)=\lim _{x \rightarrow 0-} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0-}(3 x+1)=1$

$f(0+0)=\lim _{x \rightarrow 0+} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0+}(1-4 x)=1$

Так как $f(0-0)=f(0+0)$ и не равны значению функции в точке, то точка $x=0$ - точка устранимого разрыва.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Исследовать функцию $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^{2}, x<1} \\ {(x-1)^{2}, 1 \leq x \leq 2} \\ {3-x, x>2}\end{array}\right.$ на непрерывность.

Решение. Рассматриваемая функция определена и непрерывна на промежутках $(-\infty ; 1)$, $(1 ; 2)$ и $(2 ;+\infty)$, на которых она задана непрерывными элементарными функциями $y_{1}(x)=x^{2}$, $y_{2}(x)=(x-1)^{2}$ и $y_{3}(x)=3-x$ соответственно. А тогда, разрыв возможен только на концах указанных промежутков, то есть в точках $x=1$ и $x=2$ .

Найдем односторонние пределы и значение функции в каждой из точек.

1) Рассмотрим точку $x=1$ . Для нее

$f(1)=\left.(x-1)^{2}\right|_{x=1}=0$

$f(1-0)=\lim _{x \rightarrow 1-} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1-} y_{1}(x)=\lim _{x \rightarrow 1-} x^{2}=1$

$f(1+0)=\lim _{x \rightarrow 1+} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1+} y_{2}(x)=\lim _{x \rightarrow 1+}(x-1)^{2}=0$

Так как $f(1-0) \neq f(1+0)$ , то в точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода.

2) Для точки $x=2$ имеем:

$f(2)=\left.(x-1)^{2}\right|_{x=2}=1$

$f(2-0)=\lim _{x \rightarrow 2-} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2-} y_{2}(x)=\lim _{x \rightarrow 2-}(x-1)^{2}=1$

$f(2+0)=\lim _{x \rightarrow 2+} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2+} y_{3}(x)=\lim _{x \rightarrow 2+}(3-x)=1$

Так как односторонние пределы и значение функции в этой точке равны, то это означает, что в точке $x=2$ функция непрерывна.

Ответ. В точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода, а в точке $x=2$ непрерывна.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y=e^{\frac{1}{x-1}}$ на непрерывность в точках $x_{1}=1$ и $x_{2}=0$ .

Решение. 1) Исследуем функцию на непрерывность в точке $x_{1}=1$:

$f(1-0)=\lim _{x \rightarrow 1-} e^{\frac{1}{x-1}}=e^{-\infty}=0$

$f(1+0)=\lim _{x \rightarrow 1+} e^{\frac{1}{x-1}}=e^{+\infty}=\infty$

Так как один из односторонних пределов бесконечен, то точка $x_{1}=1$ - точка разрыва второго рода.

2) Для точки $x_{2}=0$ получаем:

$f(0-0)=\lim _{x \rightarrow 0-} e^{\frac{1}{x-1}}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

$f(0+0)=\lim _{x \rightarrow 0+} e^{\frac{1}{x-1}}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

и значение функции в точке

$f(0)=e^{\frac{1}{x-1}}=\frac{1}{e}$

Таким образом, в точке $x_{2}=0$ заданная функция является непрерывной.

Ответ. $x_{1}=1$ - точка разрыва второго рода, а в точке $x_{2}=0$ функция непрерывна.

Читать дальше: основные теоремы о непрерывности функций.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация