Содержание:

Основные понятия и определения

Определение

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $\alpha$, если:

  1. функция $f(x)$ определена в точке $\alpha$ и ее окрестности;
  2. существует конечный предел функции $f(x)$ в точке $\alpha$;
  3. это предел равен значению функции в точке $\alpha$, т.е. $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)$

Замечание

При нахождении предела функции $y=f(x)$, которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

$$\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f\left(\lim _{x \rightarrow a} x\right)=f(a)$$

Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow \infty} \ln \frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}$

Решение. $\lim _{x \rightarrow \infty} \ln \frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}=\ln \left(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}\right)=\ln 1=0$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow \infty} \ln \frac{x^{2}+1}{x^{2}-3}$

Приращение аргумента и функции

Рассмотрим функцию $y=f(x)$, которая определена в некотором интервале $a;b$ и рассмотрим произвольную точку $x_0$ из этого интервала: $x_{0} \in(a ; b)$.

Определение

Приращением аргумента $x \in(a ; b)$ в точке $x_0$ называется разность $\Delta x=x-x_{0}$

Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что $x=x_{0}+\Delta x$.

Приращением функции $\Delta y=\Delta f=\Delta f\left(x_{0}\right)$ в точке $x_0$ называется разность соответствующих значений функции $f(x)-f(x_{0})$ или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:

$$\Delta y=\Delta f=\Delta f\left(x_{0}\right)=f(x)-f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$$

Теорема

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $\alpha$ тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента $\Delta x$ соответствует бесконечно малое приращение функции $\Delta f(x_{0})$:

$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta f\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\right]=0$

Слишком сложно?

Понятие непрерывности функции в точке не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Исследовать на непрерывность функцию $y=x^2$

Решение. Функция $y=x^2$ определена в любой точке из $R$. Найдем приращение заданной функции $\Delta y$ произвольной точке $x$:

$$\begin{array}{c} \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^{2}-x^{2}= \\ =x^{2}-2 x \Delta x+\Delta x^{2}-x^{2}=\Delta x^{2}-2 x \Delta x \end{array}$$

Тогда

$$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\Delta x^{2}-2 x \Delta x\right)=0$$

А тогда делаем вывод, что функция $y=x^2$ является непрерывной.

Ответ. Функция $y=x^2$ является непрерывной.

Полезные теоремы о непрерывности функции

Теорема

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны в точке $\alpha$, то функции $f(x) \pm g(x)$, $f(x), g(x)$, $\frac{f(x)}{g(x)}, g(a) \neq 0$ также непрерывны в точке $\alpha$.

Пусть функция $y=\phi(x)$ задана на множестве $X$, а $Y$ - множество значений этой функции. Пусть на множестве $Y$ задана функция $u=f(y)$. Тогда говорят, что на множестве $X$ задана композиция функций (или сложная функция) $u=f(\phi(x))$.

Теорема

Пусть функция $y=\phi(x)$ непрерывна в точке $\alpha$, а функция $u=f(y)$ непрерывна в точке $b=\phi(\alpha)$. Тогда композиция функций $u=f(\phi(x))$ непрерывна в точке $\alpha$.

Теорема

Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Читать дальше: непрерывность функции на промежутке.