Определение

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция $f(x)$ называется непрерывной справа в точке $\alpha$, если $f(a+0)=\lim _{x \rightarrow a+0} f(x)=f(a)$ .

Функция $f(x)$ называется непрерывной слева в точке $\alpha$, если $f(a+0)=\lim _{x \rightarrow a-0} f(x)=f(a)$ .

Функция $y=f(x)$ называется непрерывной в интервале $(a;b)$, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция $y=f(x)$ называется непрерывной на отрезке $[a;b]$, если она является непрерывной в интервале $(a;b)$, непрерывной справа в точке $\alpha$, то есть $f(a+0)=f(a)$ и непрерывной слева в точке $b$, то есть $f(b-0)=f(b)$ .

Свойства функций непрерывных на отрезке:

  1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.
  2. Непрерывная на отрезке $[a;b]$ функция является ограниченной на этом отрезке.
  3. Теорема Больцано-Коши. Если функция $y=f(x)$ является непрерывной на отрезке $[a;b]$ и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть $f(a)=a_{0}, f(b)=b_{0}$, то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между $a_0$ и $b=0$ .
  4. Если функция $y=f(x)$, которая непрерывна на некотором отрезке $[a;b]$, принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка $c \in[a ; b]$ такая, что $f(c)=0$ .

Читать дальше: точки разрыва функции и их классификация.

Слишком сложно?

Непрерывность функции на промежутке не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание