Предел функции в точке

Пусть задано некоторое числовое множество $X \subset R$ и каждому $x \in X$ поставлено в соответствие число $y \in R$ , тогда говорят, что на множестве $X$ задана функция $y=f(x)$, $x \in X$.

Определение предела функции по Коши

Определение

Число $b$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для $\forall \epsilon>0$ $\exists \delta>0$ такое, что для $\forall x \in(a-\delta ; a+\delta) \cap D[f]$ из того, что $0<|x-a|<\delta$ следует, что $|f(x)-b|<\epsilon$ : $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$ или $f(x) \rightarrow b$ при $x \rightarrow a$ .

Определение предела функции по Гейне

Определение

Число $b$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для любой последовательности $\left\{x_{n}\right\} \subset D[f]$ , которая сходится к $a$, соответствующая последовательность значений функции $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ сходится к $b$.

Пример

Задание. Сформулировать при помощи неравенств следующее утверждение: $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$

Решение. Сформулируем при помощи определения предела функции по Коши:

$\forall \epsilon>0, \exists \delta=\delta(\epsilon)>0 : \forall x \in D[f] :|x|>\delta \Rightarrow|f(x)-b|<\epsilon$

По определению предела функции по Гейне имеем:

$\forall\left\{x_{n}\right\} \subset D f : x_{n} \rightarrow \infty \Rightarrow f\left(x_{n}\right) \rightarrow b$

Полезные равенства

Теорема

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ заданы в некоторой окрестности точки $a$, кроме, возможно, самой точки $a$, и $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$ и $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=c$ . Тогда имеют место следующие равенства:

а) $\lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)]=b+c$

б) $\lim _{x \rightarrow a}[f(x)-g(x)]=b-c$

в) $\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot g(x)=b \cdot c$

г) $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{b}{c}, c \neq 0$

Теорема

При $x \rightarrow a$ функция $y=f(x)$ может иметь только один предел.

Читать дальше: односторонние пределы.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация