Основные неопределенности и способы их раскрытия

Определение

При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Основные виды неопределенностей: $\left\lceil\frac{0}{0}\right\rceil$ , $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ , $[0 \cdot \infty]$ , $[\infty-\infty]$ , $\left[1^{\infty}\right]$ , $\left[0^{0}\right]$ , $\left[\infty^{0}\right]$

Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.

Раскрытие неопределенностей

Для раскрытия неопределенностей используют следующее:

  1. упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
  2. замечательные пределы - первый замечательный предел и второй замечательный предел;
  3. правило Лопиталя;
  4. эквивалентные бесконечно малые функции.

Основные пределы

1. Первый замечательный предел: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$


Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}$

Решение. Получим неопределенность, сделаем замену. При $x \rightarrow 0$: $\sin x \sim x$, $\arcsin x \sim x$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{7 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3}{7}=\frac{3}{7}$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}=\frac{3}{7}$

2. Второй замечательный предел: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$


Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}$

Решение. Получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}\left[1^{\infty}\right]=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x+1}{x-1}-1\right)^{x}=$

$=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x+1-x+1}{x-1}\right)^{x}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{x}=$

$=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}}\right]^{x \cdot \frac{2}{x-1}}=\lim _{x \rightarrow \infty} e^{\frac{2 x}{x-1}}=$

$=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x}{x-1}\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}}=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2}{1-\frac{1}{x}}}=e^{2}$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}=e^{2}$

3. Предел частного многочленов на бесконечности:

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}}{b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\ldots+b_{1} x+b_{0}}=\left\{\begin{array}{l}{0, n< m} \\ {\frac{a_{n}}{b_{m}}, n=m} \\ {\infty, n>m}\end{array}\right.$

Пример

Задание. Найти предел $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}-x^{2}+14}{x^{2}-4}$

Решение. $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}-x^{2}+14}{x^{2}-4}\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\left\|\begin{array}{l} n=3 \\ m=2 \\ n>m \end{array}\right\|=\infty$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}-x^{2}+14}{x^{2}-4}=\infty$

4. Предел целой рациональной функции: если $P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$ , то $\lim _{x \rightarrow a} P(x)=P(a)$


Пример

Задание. Найти предел функции $f(x)=x^{2}+1$ в точке $x=1$

Решение. $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1)=1^{2}+1=2$

5. Пределы иррациональных выражений:

а) чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональное выражение в случае, когда предел и числителя, и знаменателя равен нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель и после этого сделать необходимые упрощения. Иррациональность переносится с помощью домножения и числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к иррациональности.


Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x-2}$

Решение. Получим неопределенность и домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к иррациональности.

$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x-2}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3}=$

$=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5-9}{(x-2)\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{(x-2)\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)}=$

$=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)\left(\sqrt{x^{2}+5}+3\right)}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}=$

$=\frac{2+2}{\sqrt{4+5}+3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^{2}+5}-3}{x-2}=\frac{2}{3}$

б) Вычисление пределов, содержащих разность корней:


Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-7}-\sqrt{x^{2}+5}\right)$

Решение. Получим неопределенность и домножим и поделим выражение на сопряженное.

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-7}-\sqrt{x^{2}+5}\right)[\infty-\infty]=$

$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(\sqrt{x^{2}-7}-\sqrt{x^{2}+5}\right)\left(\sqrt{x^{2}-7}+\sqrt{x^{2}+5}\right)}{\left(\sqrt{x^{2}-7}+\sqrt{x^{2}+5}\right)}=$

$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-7-x^{2}-5}{\left(\sqrt{x^{2}-7}+\sqrt{x^{2}+5}\right)}=$

$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-12}{\left(\sqrt{x^{2}-7}+\sqrt{x^{2}+5}\right)}\left[\frac{-12}{\infty}\right]=0$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}-7}-\sqrt{x^{2}+5}\right)=0$

6. Раскрытие неопределенности $\left[\frac{0}{0}\right]$ в частном двух многочленов с помощью разложения на множители:


Пример

Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x^{2}-5 x+6}$

Решение. Получим неопределенность, разложим на множители числитель и знаменатель, сократим одинаковые элементы.

$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x^{2}-5 x+6}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)}=$

$=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+2}{x-3}=\frac{2+2}{2-3}=-4$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x^{2}-5 x+6}=-4$

Читать дальше: понятие непрерывности функции в точке.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация