Содержание:

Определение

Б.м. функции $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при $x \rightarrow a$, если $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$

Обозначают: $\alpha(x) \sim \beta(x)$ при $x \rightarrow a$.

Пример

Задание. Проверить, являются ли функции $\alpha(x) = 5(x^2-5x+6)$ и $\beta(x) = x^2-x-6$ эквивалентными бесконечно малыми при $x \rightarrow 3$.

Решение. Проверим вначале, что данные функции являются бесконечно малыми функциями в точке $x=3$:

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 3} \alpha(x) &=\lim _{x \rightarrow 3} 5\left(x^{2}-5 x+6\right)=0 \\ \lim _{x \rightarrow 3} \beta(x) &=\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-x-6\right)=0 \end{aligned}$$

Найдем предел отношения этих функций:

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{5\left(x^{2}-5 x+6\right)}{x^{2}-x-6} &=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{5(x-3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=\\ &=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{5(x-2)}{x+2}=\frac{5}{5}=1 \end{aligned}$$

Ответ. Заданные функции $\alpha(x) = 5(x^2-5x+6)$ и $\beta(x) = x^2-x-6$ являются эквивалентными бесконечно малыми.

Таблица эквивалентных б.м. функций

Таблица эквивалентных б.м. функций при $x \rightarrow 0$

$$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline 1 . & \sin x \sim x & 6 . & \ln (1+x) \sim x \\ \hline 2 . & \arcsin x \sim x & 7 . & \log _{a} x \sim \frac{x}{\ln a} \\ \hline 3 . & \operatorname{tg} x \sim x & 8 . & a^{x}-1 \sim x \ln a \\ \hline 4 . & \operatorname{arctg} x \sim x & 9 . & e^{x}-1 \sim x \\ \hline 5 . & 1-\cos x \sim \frac{x^{2}}{2} & 10 . & (1+x)^{m}-1 \sim m x \\ \hline \end{array}$$

Предельные равенства для эквивалентных б.м. функций

Теорема

Предел отношения двух б.м. функций $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ при $x \rightarrow a$ равен пределу отношения эквивалентных им б.м. функций $\alpha^{*}(x)$ и $\beta^{*}(x)$ при $x \rightarrow a$, то есть верны предельные равенства:

$$\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha^{*}(x)}{\beta(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha(x)}{\beta^{*}(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\alpha^{*}(x)}{\beta^{*}(x)}$$

Слишком сложно?

Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных б.м. функций не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пример

Задание. Найти предел $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x+7 x^{2}}{\sin 2 x}$

Решение. При $x \rightarrow 0$: $\sin 2 x \sim 2 x$

$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x+7 x^{2}}{\sin 2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(3+7 x)}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3+7 x}{2}=\frac{3}{2}$$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x+7 x^{2}}{\sin 2 x}=\frac{3}{2}$

Теорема

Разность двух эквивалентных б.м. функций есть б.м. функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Теорема

Сумма конечного числа б.м. функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Слагаемое, которое эквивалентно сумме б.м. функций, называется главной частью указанной суммы.

Замена суммы б.м. функций ее главной частью называется отбрасыванием б.м. высшего порядка.

Пример

Задание. Найти предел $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 x-6 x^{3}}{\operatorname{tg} 3 x}$

Решение. При $x \rightarrow 0$: $5 x-6 x^{3} \sim 5 x,$ tg $3 x \sim 3 x$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 x-6 x^{3}}{\operatorname{tg} 3 x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 x}{3 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5}{3}=\frac{5}{3}$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 x-6 x^{3}}{\operatorname{tg} 3 x}=\frac{5}{3}$

Читать дальше: признаки существования пределов.