Второй замечательный предел

1

Второй замечательный предел:

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$

здесь е - число Эйлера.

Пример

Задание. Найти предел $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2+x}{5+x}\right)^{2 x}$

Решение. Подставим $x=\infty$, получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2+x}{5+x}\right)^{2 x}\left[1^{\infty}\right]=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2+x}{5+x}-1\right)^{2 x}=$

$=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2+x-5-x}{5+x}\right)^{2 x}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-3}{5+x}\right)^{2 x}=$

$$=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{-3}{5+x}\right)^{\frac{5+x}{-3}}\right]^{2 x \cdot \frac{-3}{5+x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} e^{\frac{-6 x}{5+x}}=$$

$=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-6 x}{5+x}\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-6}{5 / x+1}}=e^{\frac{-6}{0+1}}=e^{-6}=\frac{1}{e^{6}}$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2+x}{5+x}\right)^{2 x}=\frac{1}{e^{6}}$

Следствия из второго замечательного предела

1°   $\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

2°   $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}=e^{k}$

3°   $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1$

4°   $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$

5°   $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a, a \in(0 ; 1) \cup(1 ;+\infty)$

6°   $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{m}-1}{x}=m$


Читать дальше: правило Лопиталя.

Вы поняли, как решать? Нет?

Другая информация