Содержание:

1

Второй замечательный предел:

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$

здесь е - число Эйлера.

Пример

Задание. Найти предел $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2+x}{5+x}\right)^{2 x}$

Решение. Подставим $x=\infty$, получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2+x}{5+x}\right)^{2 x}\left[1^{\infty}\right]=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2+x}{5+x}-1\right)^{2 x}=$

$=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2+x-5-x}{5+x}\right)^{2 x}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{-3}{5+x}\right)^{2 x}=$

$$=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{-3}{5+x}\right)^{\frac{5+x}{-3}}\right]^{2 x \cdot \frac{-3}{5+x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} e^{\frac{-6 x}{5+x}}=$$

$=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-6 x}{5+x}\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-6}{5 / x+1}}=e^{\frac{-6}{0+1}}=e^{-6}=\frac{1}{e^{6}}$

Ответ. $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2+x}{5+x}\right)^{2 x}=\frac{1}{e^{6}}$

Следствия из второго замечательного предела

1 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

2 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}=e^{k}$

3 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1$

4 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$

5 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a, a \in(0 ; 1) \cup(1 ;+\infty)$

6 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{m}-1}{x}=m$


Читать дальше: правило Лопиталя.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 463 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!