Что такое ромб

Определение ромба

Определение

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 1 $ABCD$ - ромб, $A B=B C=C D=A D$. Так как ромб - это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба $r=\frac{A H}{2}$ (рис.1)

Свойства ромба

  1. Диагонали ромба перпендикулярны;
  2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

  1. Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, есть ромб;
  2. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Диагонали ромба $ABCD$ равны 6 и 8 см. Найти сторону ромба.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 1). Пусть для определенности, $A C=6$ см, $B D=8$ см. По свойству ромба его диагонали пересекаются под прямым углом. В точке пересечения диагонали делятся пополам (свойство параллелограмма, а ромб является частным случаем параллелограмма).

Рассмотрим треугольник $A O B$. Он прямоугольный ( $\angle O=90^{\circ}$), $A O=\frac{A C}{2}=\frac{6}{2}=3$ см, $B O=\frac{B D}{2}=\frac{8}{2}=4$ см. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:

$$A B^{2}=A O^{2}+B O^{2}$$

подставим найденные значения $AO$ и $BO$,

$A B^{2}=3^{2}+4^{2}$

$A B^{2}=9+16$

$A B^{2}=25$

$A B=\sqrt{25}$

$A B=5$ (см)

Ответ. Сторона ромба равна 5 см.

Пример

Задание. В ромбе со стороной 4 дм, один из углов равен $60^{\circ}$. Найти диагонали ромба.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2).

Пусть для определенности $\angle B=60^{\circ}$. Тогда, по свойству ромба, диагональ $BD$ является биссектрисой угла $B$, $\angle A B O=\angle O B C=\frac{\angle B}{2}=30^{\circ}$. Рассмотрим $\Delta O B C$, он прямоугольный ( $\angle B O C=90^{\circ}$), потому что диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Так как $\angle O B C=30^{\circ}, O C=\frac{B C}{2}=2$ дм - катет лежащий против угла в $30^{\circ}$. По теореме Пифагора найдем $B O$:

$$B O=\sqrt{B C^{2}-O C^{2}}$$

$$B O=\sqrt{4^{2}-2^{2}}$$

$$B O=\sqrt{12}$$

$$B O=2 \sqrt{3}$$

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, поэтому

$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}$ (дм)

$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (дм)

Ответ. $B D=4 \sqrt{3}$ дм, $A C=4$ дм

Пример

Задание. В ромбе угол образованный одной из диагоналей и стороной ромба равен $27^{\circ}$. Найти углы ромба.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 3)

Для определенности $\angle K L O=27^{\circ}$. Диагонали в ромбе являются биссектрисами его углов, поэтому $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^{\circ}=54^{\circ}$. Так как ромб является параллелограммом, на него распространяются следующие свойства: сумма прилегающих к одной стороне углов равна $180^{\circ}$ и противолежащие углы равны. Поэтому,

$\angle M=\angle K=180^{\circ}-\angle L=180^{\circ}-54^{\circ}=126^{\circ}$

$\angle N=\angle L=54^{\circ}$

Ответ. $\angle N=\angle L=54^{\circ}$

$\angle M=\angle K=126^{\circ}$

Читать дальше: что такое круг.

Другая информация