Что такое параллелограмм

Определение параллелограмма

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

На рисунке 1 изображен параллелограмм $A B C D, A B\|C D, B C\| A D$.

Свойства параллелограмма

  1. В параллелограмме противоположные стороны равны: $A B=C D, B C=A D$ (рис 1).
  2. В параллелограмме противоположные углы равны $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ (рис 1).
  3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам $A O=O C, B O=O D$ (рис 1).
  4. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна $180^{\circ}$:

    $$\angle A+\angle B=180^{\circ}, \angle B+\angle C=180^{\circ}$$

    $$\angle C+\angle D=180^{\circ}, \angle D+\angle A=180^{\circ}$$

  6. Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением:

    $$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2 a^{2}+2 b^{2}$$

  7. В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: $\angle K B H=\angle A$.
  8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.
  9. Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник $ABCD$ будет параллелограммом, если

  1. $A B=C D$ и $A B \| C D$
  2. $A B=C D$ и $B C=A D$
  3. $A O=O C$ и $B O=O D$
  4. $\angle A=\angle C$ и $\angle B=\angle D$

Площадь параллелограмма можно вычислить по одной из следующих формул:

$S=a \cdot h_{a}, \quad S=b \cdot h_{b}$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin \phi$

Примеры решения задач

Пример

Задание. Сумма двух углов параллелограмма равна $140^{\circ}$. Найти больший угол параллелограмма.

Решение. В параллелограмме противоположные углы равны. Обозначим больший угол параллелограмма $\alpha$, а меньший угол $\beta$. Сумма углов $\alpha$ и $\beta$ равна $180^{\circ}$, поэтому заданная сумма, равная $140^{\circ}$, это сумма двух противоположных углов, тогда $140^{\circ} : 2=70^{\circ}$. Таким образом меньший угол $\beta=70^{\circ}$. Больший угол $\alpha$ найдем из соотношения:

$\alpha+\beta=180^{\circ} \Rightarrow \alpha=180^{\circ}-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^{\circ}-70^{\circ} \Rightarrow \alpha=110^{\circ}$

Ответ. $\alpha=110^{\circ}$

Пример

Задание. Стороны параллелограмма равны 18 см и 15 см, а высота, проведенная к меньшей стороне, равна 6 см. Найти другую высоту параллелограмма.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2)

По условию, $a=15$ см, $b=18$ см, $h_{a}=6$ см. Для параллелограмма справедливы следующие формулы для нахождения площади:

$$S=a \cdot h_{a}, \quad S=b \cdot h_{b}$$

Приравняем правые части этих равенств, и выразим, из полученного равенства, $h_{b} $:

$$a \cdot h_{a}=b \cdot h_{b} \Rightarrow h_{b}=\frac{a \cdot h_{a}}{b}$$

Подставляя исходные данные задачи, окончательно получим:

$h_{b}=\frac{15 \cdot 6}{18} \Rightarrow h_{b}=5$ (см)

Ответ. $h_{b}=5$

Читать дальше: что такое трапеция.

Другая информация