Что такое квадрат

Определение квадрата

Определение

Квадрат - это четырехугольник, у которого все стороны равны, а все углы прямые.

На рисунке 1 изображен квадрат $A B C D$, у него $A B = B C = C D = A D, \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ}$.

Свойства квадрата

  1. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом: $A C=B D, \angle O=90^{\circ}$.
  2. В любой квадрат можно вписать окружность и вокруг любого квадрата можно описать окружность. Центром вписанной и описанной окружностей есть точка пересечения диагоналей квадрата (рис. 1). При этом радиусы $r$ и $R$ вписанной и описанной окружностей связаны с длиной его стороны $a$ следующими соотношениями:

    $$r=\frac{a}{2} \quad, \quad R=\frac{\sqrt{2}}{2} a$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. Дан квадрат $A B C D$ со стороной $a=4$ м. Найти радиусы $r$ и $R$ вписанной и описанной окружностей этого квадрата.

Решение. Радиусы $r$ и $R$, вписанной и описанной окружностей, связанны со стороной квадрата $a$ следующими соотношениями:

$$r=\frac{a}{2} \quad, \quad R=\frac{\sqrt{2}}{2} a$$

Подставляя заданное значение $a=4$ м, получим

$r=\frac{4}{2}=2$ (м)    ,    $R=\frac{4 \sqrt{2}}{2}=2 \sqrt{2}$ (м)

Ответ. $r=2$ м , $R=2 \sqrt{2}$ м

Пример

Задание. Диагональ $A C$ квадрата $A B C D$ (рис.1) равна 8 см. Найти сторону квадрата.

Решение. Обозначим сторону квадрата $a$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Он прямоугольный, так как по определению квадрата $\angle B=90^{\circ}$ и равнобедренный, так как по определению квадрата $A B=B C$. Запишем для него теорему Пифагора:

$A B^{2}+B C^{2}=A C^{2}$

Учитывая наши обозначения, последнее равенство запишется в виде

$a^{2}+a^{2}=8^{2}$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$2 a^{2}=64$

$a^{2}=32$

$a=\sqrt{32}$

$a=4 \sqrt{2}$ (см)

Ответ. $a=4 \sqrt{2}$ см

Читать дальше: что такое ромб.

Другая информация