Что такое треугольник

Определение треугольника

Определение

Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, трех отрезков, которые последовательно соединяют эти точки и ограниченной ними части плоскости.

Точки $A$, $B$ и $C$ называются вершинами, а отрезки $AB$, $BC$, $AC$ - сторонами треугольника.

Углы $\angle A B C, \angle B A C, \angle A C B$ - углы треугольника $\triangle A B C$. Их можно обозначать также одной буквой: $\angle A, \angle B, \angle C$ или $\alpha, \beta, \gamma$ - соответственно. Стороны, которые лежат против углов $\angle A, \angle B, \angle C$ также обозначают $a, b, c$.

Свойства сторон и углов треугольника

  1. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других её сторон и больше их разности:

    $$c-b < a < c+b, c>b$$

    Чтобы проверить, могут ли заданные три отрезка $a$, $b$ и $c$ образовать треугольник, достаточно проверить будет ли самый длинный отрезок меньше суммы длин двух других отрезков.

  2. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$.

    Подробнее в теореме о сумме углов треугольника.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Проверить могут ли данные отрезки образовывать треугольник:

1) $a=3 ; b=4 ; c=2$

2) $a=3 ; b=4 ; c=7$

Решение. 1) Наибольшим из этих отрезков является отрезок $b=4$, сумма двух других $a+c=3+2=5$, получаем $b < a +c$. Значит, отрезки $a=3 ; b=4 ; c=2$ образуют треугольник.

2) Среди отрезков $a=3 ; b=4 ; c=7$, наибольшим является отрезок $c=7$. Сумма оставшихся $a+b=3+4=7$. Получаем $c=a+b$, поэтому отрезки $a=3 ; b=4 ; c=7$ не могут образовывать треугольник.

Ответ. Oтрезки  $a=3 ; b=4 ; c=2$  образуют треугольник.

Отрезки  $a=3 ; b=4 ; c=7$  не могут образовывать треугольник.

Пример

Задание. В треугольнике $A B C$ углы $\alpha=28^{\circ}$ и $\beta=37^{\circ}$. Найти угол $\gamma$.

Решение. Сумма всех углов треугольника равна $180^{\circ}$, то есть

$$\alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$$

Выразим из этого равенства угол $\gamma$

$$\gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta$$

Подставляя известные значения углов $\alpha$ и $\beta$, получим

$$\gamma=180^{\circ}-28^{\circ}-37^{\circ}=115^{\circ}$$

Ответ. $\gamma=115^{\circ}$

Читать дальше: что такое внешний угол треугольника.

Другая информация