• Главная
• Справочник
• Теоремы

Теорема Пифагора

Формула теоремы Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник $A B C$ - прямоугольный треугольник с прямым углом $C$ (рис. 2).

Проведём высоту из вершины $C$ на гипотенузу $A B$, основание высоты обозначим как $H$ .

Прямоугольный треугольник $A C H$ подобен треугольнику $A B C$ по двум углам ( $\angle A C B=\angle C H A=90^{\circ}$, $\angle A$ - общий). Аналогично, треугольник $C B H$ подобен $A B C$ .

Введя обозначения

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

из подобия треугольников получаем, что

$$\frac{a}{c}=\frac{H B}{a}, \frac{b}{c}=\frac{A H}{b}$$

Отсюда имеем, что

$$a^{2}=c \cdot H B, b^{2}=c \cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^{2}+b^{2}=c \cdot H B+c \cdot A H$$

$$a^{2}+b^{2}=c \cdot(H B+A H)$$

$$a^{2}+b^{2}=c \cdot A B$$

$$a^{2}+b^{2}=c \cdot c$$

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

Примеры решения задач

Историческая справка

Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

В древнекитайской книге "Чжоу би суань цзин" говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий историк математики Мориц Кантор (1829 - 1920) считает, что равенство $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.